Fonctions paires et impaires

Une fonction $f:E\to F$, avec $E\subseteq \mathbb{R}$ et $F\subseteq \mathbb{R}$,  est  :

• paire si et seulement si pour tout $x$ de $E$, on a $-x\in E$ et $f(x)=f(-x)$. Un exemple de fonction paire est la fonction cosinus.

• impaire si et seulement si pour tout $x$ de $E$, on a $-x\in E$ et $f(-x)=-f(x)$. Un exemple de fonction impaire est la fonction sinus.

Les appellations "paire" et "impaire" proviennent du fait que toutes les fonctions $x⟼x^k$ avec k pair sont paires et toutes les fonctions $x⟼x^k$ avec k impair sont impaires.

La parité des fonctions sert par exemple à n'étudier la fonction que sur la moitié de son intervalle de définition, l'autre moitié étant déduite par symétrie. On remarquera qu'une fonction impaire définie en 0 est nulle en ce point.

Si E est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ symétrique par rapport à 0 (c'est à dire que si x appartient à E alors - x appartient à E), toute fonction $f:E\to F$ peut se décomposer comme une somme unique d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Par conséquent, on peut parler de la partie paire de f et de la partie impaire de f. Par exemple, e se décompose comme la somme unique de $\mathrm{ch}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ et de .

Soit f une fonction définie sur E et (Cf) sa représentation graphique dans un repère orthogonal

• f est une fonction paire si et seulement si (Cf) est symétrique par rapport à l'axe (Oy)
• f est une fonction impaire si et seulement si (Cf) est symétrique par rapport au point O

Mais, une fonction dont la courbe représentative possède un axe ou un centre de symétrie n'est pas forcément paire ou impaire : il est nécessaire que le centre soit O ou l'axe soit (Oy).

• La seule fonction qui est à la fois paire et impaire est la fonction nulle (fonction constante égale à 0).
• En général, la somme d'une fonction paire et une fonction impaire n'est ni paire ni impaire ; ex : x + x.
• La somme de deux fonctions paires donne une fonction paire, et toute constante multiple d'une fonction paire est paire.
• La somme de deux fonctions impaires donne une fonction impaire, et toute constante multiple d'une fonction impaire est impaire.
• Le produit de deux fonctions paires donne une fonction paire.
• Le produit de deux fonctions impaires donne aussi une fonction paire.
• Le produit d'une fonction paire et une fonction impaire donne une fonction impaire.
• Le quotient de deux fonctions paires donne une fonction paire.
• Le quotient de deux fonctions impaires donne une fonction impaire.
• Le quotient d'une fonction paire et une fonction impaire donne une fonction impaire.
• La dérivée d'une fonction paire est une fonction impaire.
• La dérivée d'une fonction impaire est une fonction paire.
• Une primitive d'une fonction impaire n'est pas forcément paire mais si E est un intervalle, toute primitive d'une fonction impaire sur E est une fonction paire.
• Une primitive d'une fonction paire n'est pas forcément impaire mais si E est un intervalle, la primitive d'une fonction paire sur E qui s'annule en 0 est une fonction impaire.
• La composée de deux fonctions impaires donne une fonction impaire.
• La composée f o g d'une fonction quelconque f avec une fonction paire g donne une fonction paire.
• La composée g o f d'une fonction paire g avec une fonction impaire f donne une fonction paire.