Ouvert (topologie)

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'une topologie. Il s'agit d'une notion fondamentale par sa transversalité dans presque tous les domaines des mathématiques.

On définit un espace topologique par la donnée d'un couple (X,T) , où X est un ensemble et T sa topologie, c'est-à-dire un ensemble de parties de X ($T\subset \mathcal{P}(X)$) vérifiant les trois propriétés suivantes :

• $X\in T$ et $\varnothing \in T$,
• T est stable par intersection finie : $U_1\cap U_2\in T$ dès que $U_1\in T$ et $U_2\in T$,
• T est stable par réunion quelconque : ${\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }\in T$ dès que tous les $U_{\alpha }$ appartiennent à $T$.

Par définition, un ensemble U est un ouvert de (X,T) si et seulement si U est un élément de T : la topologie est donc l'ensemble des ouverts.

De cette définition générale découlent des définitions corolaires restreintes aux espaces topologiques particuliers (couples ensembles/topologie) considérés.

Notamment les cas particuliers d'espaces topologiques les plus couramment étudiés:

• Espaces métriques
• Espaces Hilbertiens
• Espaces Hermitiens
• Espaces vectoriels normés
• Espaces Euclidiens

...

Une intersection infinie d'ouverts n'est pas nécessairement un ouvert.

Soit deux espaces topologiques E et F. Une fonction $f:E⟶F$ est continue si l'image réciproque de tout ouvert de F est un ouvert de E. Si c'est l'image directe d'un ouvert qui est ouverte, on parle d'application ouverte.

Fermé

Une partie d'un espace topologique (X,T) est fermée si son complémentaire dans X est un ouvert.

Intérieur d'une partie

Toute partie P d'un espace topologique (X,T) contient au moins un ouvert (éventuellement vide) ; le plus grand de ces ouverts est appelé l'intérieur de S. L'intérieur d'une partie est toujours défini est peut être construit en considérant l'union de tous les ouverts inclus dans S.

Voisinage d'une partie

Est appelé voisinage d'une partie A (non vide) d'une espace topologique E toute partie V de E contenant un ouvert U contenant A, c'est-à-dire tel que $A\subset U\subset V$.

Les voisinages d'une partie non vide constituent un filtre, c'est-à-dire que l'intersection d'un nombre fini de voisinages est un voisinage et qu'une partie qui contient un voisinage est un voisinage.

Connexité

Un espace X est dit connexe si les seules parties ouvertes et fermées de X sont X et l'ensemble vide. Autrement dit, dans un espace connexe le complémentaire d'une partie ouverte n'est jamais un ouvert, sauf si la partie ou son complémentaire est vide.

Topologies discrète et topologie grossière

Le caractère ouvert d'une partie d'un ensemble dépend de la topologie qu'on se donne. La plupart des espaces n'ont pas de topologie canonique, mais souvent plusieurs topologies intéressantes.

N'importe quel ensemble est ouvert, pour une topologie suffisamment fine, alors qu'une partie non triviale n'est pas ouverte pour une topologie trop grossière. Exemples :

• la topologie $T=\{\varnothing ,X\}$ réduite à l'ensemble vide et à X est la topologie grossière.
• l'ensemble $T=\mathcal{P}(X)$ de toutes les parties constitue la topologie discrète.

Espaces métriques

Soit (E,d) un espace métrique. Dans cet espace, une boule ouverte de centre $x\in E$ et de rayon r > 0 est l'ensemble des points de E dont la distance à x est strictement inférieure à r :

$B(x,r)=\{y\in E/d(x,y)<r\}$.

Une partie U de cet espace est ouverte si et seulement si pour tout point x de U, il existe une boule centrée sur x et incluse dans U :

De façon équivalente, U est ouverte si et seulement si tout point de U possède un voisinage inclus dans U.

Cela signifie que U est un ouvert de E si pour chacun de ses points x, il contient également les points suffisamment proches de x : on peut entourer chaque point en restant dans l'ouvert, donc aucun point deU n'est au bord de U.

Exemples :

• Toute boule ouverte est ouverte. Le nom de « boule ouverte » est donc cohérent avec la définition d'ouvert.
• L'ensemble vide et l'ensemble E sont des ouverts.
• La réunion et l'intersection de deux ouverts sont des ouverts.

Remarque :

• Dans $\mathbb{R}$, pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de $\mathbb{R}$ définis par des inégalités strictes. De plus les ouverts de $\mathbb{R}$ sont les réunions disjointes au plus dénombrables d'intervalles ouverts.

L'ensemble des ouverts de E est appelé la topologie de E.

Géométrie algébrique : ouverts de Zariski

En géométrie algébrique, un ensemble algébrique affine de ${\mathbf{R}}^n$ est l'ensemble des points qui vérifient un ensemble E d'équations polynomiales : si E est un ensemble de polynômes $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ :

$Z(E)=\{(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbf{R}}^n,\forall f\in E,f(x_1,\dots ,x_n)=0\}$ est un ensemble algébrique affine.

En particulier si f est un polynôme $Z(f)=\{(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbf{R}}^n,f(x_1,\dots ,x_n)=0\}$ est un ensemble algébrique affine.

Remarque : si on prend pour E l'ensemble vide (aucun polynôme), on obtient : $Z(\varnothing )={\mathbf{R}}^n$ et si on prend pour E l'ensemble de tous les polynômes $E=\mathbf{R}[X_1,X_2,\dots X_n]$, on obtient l'ensemble vide $Z(E)=\varnothing$.

Les ensembles algébriques de ${\mathbf{R}}^n$ vérifient les propriétés suivantes:

• ${\mathbf{R}}^n=Z(\{0\})$ ;

• $\varnothing =Z(\{1\})$ ;

• une réunion finie $Z(E_1)\cup Z(E_2)\dots \cup Z(E_k)$ d'ensembles algébriques est encore un ensemble algébrique Z(E) (prendre pour E l'ensemble des produits $f_1\dots f_k$, avec f_i parcourant les polynômes dans E_i).;

• une intersection (éventuellement infinie) d'ensembles algébriques {Z(E_i)}_i est un ensemble algébrique Z(E) (avec $E={\cup }_i{E}_i$).

Il existe donc une unique topologie, appelée topologie de Zariski, sur ${\mathbf{R}}^n$ dont les parties fermées sont les ensembles algébriques.

Les complémentaires dans ${\mathbf{R}}^n$ des ensembles algébriques sont les parties ouvertes pour la topologie de Zariski. Un ouvert s'écrit donc sous la forme :

$U={\complement }_{{\mathbf{R}}^n}Z(E)$.

Les ouverts de la topologie de Zariski de la forme $D(f)=\{(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbf{R}}^n,f(x_1,\dots ,x_n)\ne 0\}={\complement }_{{\mathbf{R}}^n}Z(f)$ sont appelés ouverts principaux ou ouverts élémentaires.

Exemple : Si n=1, les fermés sont R et les parties finies de R. Les ouverts sont l'ensemble vide et les ensembles

$U=\mathbf{R}-\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ (R privé d'un ensemble fini).

Ce sont des réunions finies d'intervalles ouverts. La topologie est aussi appelée topologie cofinie (pour complémentaires des ensembles finis).

Dans la théorie des schémas, on adopte une définition plus abstraite : les ouverts d'une topologie de Grothendieck (par exemple la topologie étale) sont définis comme des morphismes de certaines catégories.

Espaces vectoriels de dimension finie

Un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps topologique K a une topologie canonique : il s'agit de la topologie la moins fine (ayant le moins d'ouverts) qui rende continues les formes linéaires (les fonctions linéaires de E dans K). Ainsi pour ${\mathbb{R}}^n$, elle est engendrée par les pavés ouverts : les ouverts sont les réunions (éventuellement infinies) de produits d'intervalles ouverts.

Espaces euclidiens : définition basée sur la notion de point intérieur

Si S est une partie d'un espace euclidien ${\mathbb{R}}^n$, on dit qu'un point x est un point intérieur de S si il existe une boule ouverte centrée en x qui est contenue dans S.

Un sous-ensemble de points U de l'espace ${\mathbb{R}}^n$ est dit ouvert lorsque tout point p élément de U est un point intérieur.

• L'ensemble vide et l'ensemble ${\mathbf{R}}^n$ sont des ouverts.
• La réunion et l'intersection de deux ouverts sont des ouverts.

L'ensemble des ouverts de ${\mathbf{R}}^n$ est appelé la topologie de ${\mathbf{R}}^n$.

Un ensemble ouvert (appelé aussi ouvert) de la droite ou du plan est un ensemble qui est vide ou qui présente la caractéristique suivante : en choisissant comme origine un point quelconque de l'ensemble, tous les points autour de celui-ci sont encore dans l'ensemble à condition de ne pas trop s'éloigner. Cela signifie que ce point est assez loin de tous les points n'appartenant pas à l'ensemble, ou encore, qu'il existe toujours une distance non nulle entre ce point et le complémentaire de l'ensemble (les points n'appartenant pas à l'ensemble).

Exemple :

• Dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$, l'intervalle X = ]0,1[, c'est-à-dire l'ensemble des réels x tels quel 0 < x < 1, est ouvert. Pour illustrer la définition, choisissons le point 0,99 (qui appartient à l'ensemble X). Tous les points à une distance de x inférieure ou égale à + 0,005 appartiennent encore à l'ensemble. En effet, tous ces réels y vérifient l'inégalité $0,985\le y\le 0,995$, et comme 0 < 0,985 et que 0,995 < 1, les réels y vérifient 0 < y < 1 et appartiennent bien à X. Pour démontrer que X est un ouvert, il faudrait faire le même raisonnement pour tous les points de X = ]0,1[, en ajustant au besoin la distance.

Contre-exemple :

• Dans l'ensemble des réels, l'intervalle Y = ]0,1], c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels y tels que $0<y\le 1$, n'est pas ouvert. En effet, si on choisit le point 1 (qui appartient à l'ensemble Y), il n'y a aucun point supérieur à 1 et appartenant à l'ensemble ]0,1], même si on s'éloigne très peu de ce point, dans le sens positif.

L'ensemble des ouverts de la droite (respectivement du plan) est appelé la topologie de la droite (respectivement la topologie du plan). On peut montrer que les ouverts de la droite sont l'ensemble vide et les ensembles qui sont réunion finie ou infinie d'intervalles ouverts.

Il existe des définitions généralisées d'espaces topologiques où la notion de topologie n'est pas bâtie sur la notion d'ouvert. Pour ces approches, la propriété pour un ensemble d'être ouvert n'est pas topologiquement intrinsèque, d'autant plus que ces généralisations ne s'appuient pas sur la théorie des ensembles.