Revêtement (mathématiques)

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Introduction

Revêtement du cercle X par une hélice Y, les ensembles disjoints Si sont projetés homéomorphiquement sur U.

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et en topologie algébrique, un revêtement d'un espace topologique B par un espace topologique E est une application continue et surjective p : E → B telle que tout point $b \in B$ admette un voisinage ouvert U tel que l'image réciproque de U par p soit une union disjointe d'ouverts de E, chacun homéomorphe à U par p.

Il s'agit d'un cas particulier de fibré, localement trivial, à fibre discrète. Les revêtements jouent un rôle pour calculer le groupe fondamental et les groupes d'homotopie d'un espace. Un résultat de la théorie des revêtements est que si B est connexe par arcs et localement simplement connexe, il y a une correspondance bijective entre les revêtements connexes par arcs de B, à isomorphisme près, et les sous-groupes du groupe fondamental de B.

Définition mathématique et terminologie

Homéomorphismes locaux au-dessus de B

Un homéomorphisme local est une application continue $π : X \to B$ appelée projection telle que si x est un point de X, il existe un voisinage ouvert U de x et un voisinage ouvert V de π(x) tels que la restriction de π à l'ouvert U soit un homéomorphisme sur V. Si B est un espace topologique, un espace X muni d'un homéomorphisme local $π : X \to B$ est appelé espace étalé au-dessus de B.

B est appelé la base. Pour tout point $b \in B$ , on appelle fibre de X au-dessus du point b et on note X(b) le sous espace $π^{- 1} (b) \subset X$ . On appelle section (continue) de X au-dessus de B, une application continue $σ : B \to X$ telle que $π \circ σ = I d_{B}$ .

Par exemple, une submersion entre variétés différentielles de même dimension est un homéomorphisme local.

Revêtements

Un revêtement d'un espace topologique B est un espace X, muni d'un homéomorphisme local $π : X \to B$ surjectif, tel que si b est un point de B, il existe un voisinage V de b, un espace discret F (non vide) et un homéomorphisme $Φ : π^{- 1} (V) \to V \times F$ qui commute avec les projections sur l'espace B, c'est-à-dire que si $f \in F$ , π(Φ (b,f)) = b.

La définition précédente est celle d'un fibré, localement trivial, à fibre discrète avec la remarque que si la base B n'est pas connexe, la fibre F dépend du point base b et s'identifie à la fibre π (b).

Chaque application $b \mapsto Φ^{- 1} (b, f)$ est une section de π (V) au-dessus de l'ouvert V. Autrement dit $π^{- 1} (V)$ est la réunion disjointe des ouverts $V_{f} = Φ^{- 1} (V \times f)$ tous homéomorphes par π à V.

Théorème : Soit p un homéomorphisme local dont toutes les fibres sont finies de même cardinal n (non nul), alors p est un revêtement fini.

Revêtements triviaux

Si F est un espace discret, l'application $(b, f) \mapsto b$ définit un revêtement $B \times F \to B$ au-dessus de B. Plus généralement, un revêtement est dit trivial si on peut prendre V=B dans la définition, c'est-à-dire s'il existe un espace discret F et un homéomorphisme $Φ : X \to B \times F$ qui commute avec les projections sur l'espace B, c'est-à-dire que si $f \in F$ , π(Φ (b,f)) = b. Un homéomorphisme est un exemple de revêtement trivial.

Exemples

Revêtement du cercle par une droite

Soit S le cercle dans le plan $R^{2} = C$ . La droite réelle $R$ est alors un revêtement de S défini par l'application :

$p : R \to S^{1}, p (t) = (cos (2 π t), sin (2 π t)) = e^{2 iπ t}$ .

Chaque fibre est ici infinie dénombrable ( $p^{- 1} (p (x)) = x + Z$ ).

La construction se généralise au revêtement exponentiel du tore : $R^{n} \to T^{n} = S^{1} \times S^{1} \times \dots \times S^{1} \subset R^{2 n}$

La fibre est dénombrable : ( $p^{- 1} (0) = Z^{n}$ ).

Les fonctions puissances

L'application du plan complexe privé de l'origine $C^{*}$

$p : C^{\to} C^{,} p (z) = z^{n}$ définit un revêtement.

Chaque fibre est ici finie et a n élements.

L'application exponentielle

L'application du plan complexe $C$

$p : C \to C^{*}, p (z) = e^{z}$ définit un revêtement.

Chaque fibre est ici infinie dénombrable ( $p^{- 1} (p (x)) = x + 2 iπ Z$ ).

Revêtement à deux feuillets du ruban de Möbius, homéomorphe à un cylindre. Le ruban de Möbius vient se glisser entre les deux feuillets.

La bande de Möbius

Le cylindre (ou anneau) $S^{1} \times [0; 1]$ est un revêtement à deux feuillets de la bande de Möbius.

La bande de Möbius est une variété topologique non orientable alors que son revêtement est orientable. On montre plus généralement que tout variété connexe non orientable possède un revêtement connexe à deux feuillets orientable. C'est le cas notamment du plan projectif dont le revêtement est une sphère (voir ci-dessous), et de la bouteille de Klein dont le revêtement est le tore.

Revêtement de l'espace projectif

Pour n>1, l'application canonique $S^{n} \to RP^{n}$ est un revêtement de l'espace projectif (réel) ; la fibre a deux éléments.

Dans le cas du plan projectif dont une représentation dans $R^{3}$ est donnée par la surface de Boy, il est possible de transformer la sphère par immersion en un revêtement à deux feuillets de cette surface de Boy. Si on fait se traverser ces deux feuillets, on procède alors à un retournement de la sphère.

On procède de même pour le retournement du tore, après avoir fait coïncider celui-ci en un revêtement à deux feuillets de la bouteille de Klein.

Constructions de revêtements

Produit fibré, Somme directe, Changement de base

Soit X, Y et Z trois espaces topologiques, $φ$ un morphisme (application continue) de X dans Z et ψ de Y dans Z. On appelle produit fibré de X et Y par rapport à Z, noté $X \otimes_{Z} Y$ , un espace topologique, $X \otimes_{Z} Y$ , un morphisme, p_X, de ce produit dans X et p_Y de ce produit dans Y tels que pour tout espace topologique, A et deux morphismes, f (de A dans X) et g (de A dans Y) tels que $φ \circ f = ψ \circ g$ , alors il existe un morphisme, p_A de A dans le produit, tel que $p_{X} \circ p_{A} = f$ et $p_{Y} \circ p_{A} = g$ .

Groupes discrets opérant proprement et librement

Soit G un groupe discret opérant proprement et librement sur un espace localement compact E, la projection $E \to E / G$ définit un revêtement de fibre G.

En particulier, si $Γ$ est un sous-groupe discret du groupe topologique G, la projection $G \to G /Γ$ est un revêtement de fibre $Γ$ .

Construction de revêtements par recollement

Théorie des revêtements

Morphismes et transformations de revêtements

Un morphisme de revêtements au-dessus de B est une application continue $f : X \to X^{'}$ qui commute avec les projections π_X et π_X', c'est-à-dire telle que $π_{X^{'}} \circ f = π_{X}$ . Les applications identiques I**d_X sont des morphismes. La composée de deux morphismes est un morphisme. Donc les revêtements de base B avec leurs morphismes forment une catégorie $R e v_{B}$ .

Revêtements sur un segment

Théorème — Tout revêtement sur un intervalle compact [a;b] de R est trivial.

C'est un cas particulier du théorème plus général :

Théorème — Tout espace fibré, localement trivial, sur un intervalle compact [a;b] de R est trivial.

Relèvement des chemins

Proposition — Soit (X,π) un revêtement de B, b un point de B, soit $x \in X (b)$ . Soit c un chemin d'origine b Alors il existe un chemin $\tilde{c}$ et un seul dans X d'origine x tel que $π \circ \tilde{c} = c$ .

Monodromie des lacets et relèvement des applications

Le groupe fondamental de la base, $π_{1} (B, b)$ , opère par une action de groupe à droite sur la fibre $X (b) = π^{- 1} (b)$ .

Revêtements galoisiens et groupe de Galois d'un revêtement

Un revêtement est dit galoisien (ou régulier ou normal) s'il est connexe par arcs et le groupe des automorphismes agit transitivement sur la fibre de chaque point.

Revêtements universels

Un revêtement universel d'un espace B est un revêtement galoisien E tel que tout revêtement soit isomorphe à un revêtement associé à E (non nécessairement connexe). C’est-à-dire que pour tout revêtement D de B, il existe un morphisme de E sur D.

Deux revêtements universels sont isomorphes et tout revêtement d'un revêtement universel est trivial.

Théorème — Un revêtement simplement connexe E est un revêtement universel.

Théorème — Un espace (connexe par arcs) B admet un revêtement simplement connexe si et seulement s'il est semi-localement simplement connexe.

En particulier tout graphe, toute variété topologique admet un revêtement simplement connexe.