Axiomes des probabilités - Définition

Introduction

Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) est une application qui à un évènement A quelconque associe un nombre réel (noté ). Une mesure de probabilité doit satisfaire les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés.

Une mesure de probabilité est toujours définie sur un espace probabilisable i.e. sur un couple constitué d'un ensemble d'éventualités, l'univers Ω, et d'une tribu de parties de l'univers Ω. Les éléments de la tribu sont appelés les évènements. Ainsi la mesure de probabilité est une application de dans

Premier axiome

Pour tout évènement  :

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Troisième axiome

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), satisfait :

.

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

Deuxième axiome

désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,

,

C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

Limites croissantes et décroissantes

• Toute suite croissante d'évènements satisfait :

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) d'évènements croissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

• Toute suite décroissante d'évènements satisfait :

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est l'intersection (dénombrable) d'évènements décroissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

Conséquences

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

• 

• Si , sont deux évènements incompatibles (ou disjoints), alors

• Plus généralement, si est une famille d'évènements 2 à 2 incompatibles, alors

• ;

Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence . Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de et de

• En particulier, si , alors

C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où , la propriété précédente s'écrit

où le premier terme est clairement positif ou nul.

• Dans le cas particulier où B = Ω, cela donne que, pour tout évènement ,

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement lui-même.

• Pour tous évènements , ,

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements A ou B se réalise est égale à la somme des probabilités pour que se réalise, et pour que se réalise, moins la probabilité pour que et se réalisent simultanément. De même,

• Ces deux dernières formules sont des cas particuliers (n=2,3) du Principe d'inclusion-exclusion:

qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.