Convergence de variables aléatoires - Définition

Implications réciproques

À quelques exceptions près, les implications mentionnées dans les sections précédentes n'ont pas de réciproque, à proprement parler. Voici toutefois quelques propriétés utiles qu'on pourrait qualifier de "semblants de réciproques":

• Si X_n converge en loi vers une constante réelle c, alors X_n converge en probabilité vers c.

• Si X_n converge presque sûrement vers X, alors X_n converge en loi vers X, et la réciproque est fausse, mais il existe un théorème (appelé "théorème de représentation de Skorohod") qui est une forme de réciproque, voir, dans Fonction de répartition, la section Convergence en loi et fonction de répartition, et particulièrement (1. implique 3.).

• Si X_n converge en probabilité vers X, et si P(|X_n| ≤ b) = 1 pour tout n et un certain b, alors X_n converge en moyenne d'ordre r vers X pour tout r ≥ 1. Plus généralement, si X_n converge en probabilité vers X, et si la famille (X_n) est uniformément intégrable, alors X_n converge en moyenne vers X.
• Si pour tout ε > 0,

alors X_n converge presque sûrement vers X. En d'autres termes, si X_n converge en probabilité vers X suffisamment rapidement (i.e. la série ci-dessus converge pour tout ε > 0), alors X_n converge aussi presque sûrement vers X. Cela résulte d'une application directe du théorème de Borel-Cantelli.

• Soit une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. Pour tout n, on pose :

.

Alors la convergence presque sûre de la suite équivaut à sa convergence en probabilité ; autrement dit, la convergence presque sûre de la série de terme général X_n équivaut à sa convergence en probabilité.