Théorème de Borel-Cantelli - Définition

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- Introduction - Théorème de Borel-Cantelli (théorie de la mesure) - Limite supérieure d'ensembles - Loi du zéro-un de Borel - Lemme de Borel-Cantelli (probabilités)

Introduction

Dans la théorie des probabilités, le lemme de Borel-Cantelli, parfois aussi appelé théorème de Borel-Cantelli, concerne une suite d'événements. Sous une forme un peu plus générale, il est également valable en théorie de la mesure. Le lemme stipule que :

Lemme de Borel-Cantelli — Si la somme des probabilités d'une suite $\scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}$ d'événements d'un espace probabilisé $\scriptstyle\ \left(\Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right)\$ est finie, alors la probabilité qu'une infinité d'entre eux se réalisent simultanément est nulle.

L'indépendance des événements n'est pas nécessaire. Par exemple, considérons une suite $\scriptstyle\ (X_n)_{n\ge 1}$ de variables aléatoires, telle que, pour tout $\scriptstyle\ n\ge 1$ ,

La somme des $\scriptstyle\ \mathbb{P}(X_n = 0)$ est finie, donc d'après le lemme de Borel-Cantelli la probabilité que $\scriptstyle\ X_n = 0$ se produise pour une infinité d'indices $\scriptstyle\ n$ est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, $\scriptstyle\ X_n$ est non nul à partir d'un certain rang (aléatoire) $\scriptstyle\ n_0.$ On a donc appliqué le lemme de Borel-Cantelli à la suite d'évènements $\scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}$ définie par

Théorème de Borel-Cantelli (théorie de la mesure)

Pour un espace mesuré général $\scriptstyle\ (X,\mathcal{A},\mu)$ , le lemme de Borel-Cantelli prend la forme suivante :

Théorème de Borel-Cantelli — Soit $\scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}$ une suite dans $\scriptstyle\ \mathcal{A}$ . Si

alors

Posons

et remarquons que

$\scriptstyle\ B_n\$ est une suite décroissante (pour l'inclusion) d'éléments de $\scriptstyle\ \mathcal{A},$ car $\scriptstyle\ B_n= A_n\cup B_{n+1}$ ;
pour tout $\scriptstyle\ n\ge 0,$ on a $\scriptstyle\ \mu(B_n)<+\infty.$

Le deuxième point découle de la majoration

et de l'hypothèse du théorème de Borel-Cantelli, selon laquelle $\scriptstyle\ \mu(A_n)\$ est le terme général d'une série convergente. Les 2 conditions permettant de conclure que

sont ainsi remplies. De plus $\scriptstyle\ \mu(B_n)\$ est majorée par

qui est le reste d'une série convergente, donc

Comme

on conclut que

CQFD

Limite supérieure d'ensembles

Définition — La limite supérieure $\scriptstyle \limsup_n\, A_n$ d'une suite $\scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}\,$ de parties d'un ensemble $\scriptstyle \Omega$ est l'ensemble des éléments $\scriptstyle \omega$ de $\scriptstyle \Omega$ tels que l'assertion $\scriptstyle \{\omega\in A_k\}$ soit vérifiée pour une infinité d'indices $\scriptstyle k\ge 0$ .

En d'autres termes, on peut dire que $\scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n$ si et seulement si l'ensemble $\scriptstyle \{k\ge 0\ \vert\ \omega\in A_k\}$ est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout $\scriptstyle n\ge 0$ , on peut trouver $\scriptstyle k\ge n$ tel que $\scriptstyle \omega\in A_k$ . Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que $\scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n$ si et seulement si $\scriptstyle\ \{\omega\in A_k\}\$ "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

Finalement, remarquons que la définition " $\scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n$ si et seulement si $\scriptstyle\ \omega\$ appartient à une infinité de $\scriptstyle\ A_k\$ " peut induire en erreur : si par exemple toutes les parties $\scriptstyle\ A_k\$ sont égales, il se peut que $\scriptstyle\ \omega\$ appartienne à $\scriptstyle\ A_k\$ pour une infinité d'indices $\scriptstyle\ k\$ , et il se peut donc que $\scriptstyle\ \omega\$ appartienne à $\scriptstyle\ \limsup_n\, A_n,$ sans pour autant qu' $\scriptstyle\ \omega\$ appartienne à une infinité de $\scriptstyle\ A_k\$ (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul $\scriptstyle\ A_k$ ).

Loi du zéro-un de Borel

Le lemme de Borel-Cantelli ne doit pas être confondu avec la loi du zéro-un de Borel, parfois appelée second lemme de Borel-Cantelli :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements $\scriptstyle\ A_n$ sont indépendants, alors $\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)$ vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A_n)$ est convergente ou divergente.

La loi du zéro-un de Borel montre en particulier que l'hypothèse $\scriptstyle\ \sum_{n\ge 0}\mu(A_n)<+\infty$ du lemme de Borel-Cantelli ne peut en aucun cas être affaiblie en $\scriptstyle\ \lim_{n}\mu(A_n)=0$ . En effet on peut avoir simultanément, d'une part $\scriptstyle\ \lim_{n}\mathbb{P}(A_n)=0$ , d'autre part (indépendance des $\scriptstyle\ A_n$ et $\scriptstyle\ \sum_{n\ge 0}\mathbb{P}(A_n)=+\infty$ ), donc on peut avoir simultanément :

Lemme de Borel-Cantelli (probabilités)

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