Théorème de Borel-Cantelli - Définition

Introduction

Dans la théorie des probabilités, le lemme de Borel-Cantelli, parfois aussi appelé théorème de Borel-Cantelli, concerne une suite d'événements. Sous une forme un peu plus générale, il est également valable en théorie de la mesure. Le lemme stipule que :

L'indépendance des événements n'est pas nécessaire. Par exemple, considérons une suite de variables aléatoires, telle que, pour tout ,

La somme des est finie, donc d'après le lemme de Borel-Cantelli la probabilité que se produise pour une infinité d'indices est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, est non nul à partir d'un certain rang (aléatoire) On a donc appliqué le lemme de Borel-Cantelli à la suite d'évènements définie par

Théorème de Borel-Cantelli (théorie de la mesure)

Pour un espace mesuré général , le lemme de Borel-Cantelli prend la forme suivante :

Théorème de Borel-Cantelli — Soit une suite dans . Si

alors

Limite supérieure d'ensembles

En d'autres termes, on peut dire que si et seulement si l'ensemble est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout , on peut trouver tel que . Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que si et seulement si "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

Finalement, remarquons que la définition " si et seulement si appartient à une infinité de " peut induire en erreur : si par exemple toutes les parties sont égales, il se peut que appartienne à pour une infinité d'indices , et il se peut donc que appartienne à sans pour autant qu' appartienne à une infinité de (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul ).

Loi du zéro-un de Borel

Le lemme de Borel-Cantelli ne doit pas être confondu avec la loi du zéro-un de Borel, parfois appelée second lemme de Borel-Cantelli :

La loi du zéro-un de Borel montre en particulier que l'hypothèse du lemme de Borel-Cantelli ne peut en aucun cas être affaiblie en . En effet on peut avoir simultanément, d'une part , d'autre part (indépendance des et ), donc on peut avoir simultanément :