Fonction de répartition - Définition et Explications

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Introduction

Fonctions de répartition d'une variable discrète, d'une variable diffuse et d'une variable avec atome, mais non discrète.

En théorie des probabilités ou en statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle...), la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle (Une variable aléatoire réelle est une variable aléatoire à valeurs dans , ou...) caractérise la loi de probabilité (En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit...) de cette variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une...) réelle. La fonction de répartition de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) aléatoire réelle \ \scriptstyle X\ est la fonction \ \scriptstyle F_X qui à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) réel \scriptstyle x associe

 F_X(x) = \mathbb{P}(X\leq x),

où le membre de droite réprésente la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) que la variable aléatoire réelle \ \scriptstyle X\ prenne une valeur inférieure ou égale à \ \scriptstyle x.\ La probabilité que \ \scriptstyle X\ se trouve dans l'intervalle \ \scriptstyle ]a, b]\ est donc, si \ \scriptstyle a<b,\

 \mathbb{P}(a<X\le b)\ =\ F_X(b)-F_X(a).

La fonction de répartition d'une mesure de probabilité \ \scriptstyle \mathbb{P}\ définie sur la tribu borélienne (La tribu borélienne sur un (ou d'un) espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur...) \scriptstyle\ \mathcal{B}(\mathbb{R}) est la fonction \ \scriptstyle F qui à tout réel \scriptstyle x associe

 F(x) = \mathbb{P}(]-\infty, x]).

Exemples de calculs de la fonction de répartition

Variables à densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...)

La fonction de répartition \scriptstyle \ F_X\ d'une variable aléatoire \scriptstyle \ X\ de densité de probabilité (En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est...) \scriptstyle \ f_X est une des primitives (en un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) un peu relaché, voir ci-dessous) de cette densité \scriptstyle \ f_X. Plus précisément, \scriptstyle \ F_X\ est définie, pour tout nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) x, par:

 F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\, dt.

Toutefois, ce n'est pas, en toute généralité, une primitive au sens strict du terme : on peut seulement affirmer

  • qu'une fonction de répartition \scriptstyle \ F_X est dérivable presque partout (pour la mesure de Lebesgue),
  • que si la variable \scriptstyle \ X\ est à densité, alors la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) de \scriptstyle \ F_X est presque partout (pour la mesure de Lebesgue) égale à \scriptstyle \ f_X.

Mais il y a beaucoup de "contre-exemples" : la fonction de répartition de la loi uniforme sur un intervalle, ou encore celle de la loi exponentielle (Une loi exponentielle correspond au modèle suivant:), ne sont pas dérivables sur tout \scriptstyle \ \mathbb{R}, et ne sont donc pas, au sens strict, des primitives de densités de probabilités.

Notons que, contrairement aux variables discrètes, une variable à densité X vérifie \scriptstyle \ P(X=a)=0\ pour tout nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) réel a : en conséquence, la fonction de répartition des variables à densité est continue en tout point (Graphie). En fait une variable aléatoire réelle X possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est absolument continue sur chaque intervalle borné.

Variables discrètes

Fonction de répartition de la loi uniforme sur {0.2,0.4,0.6,0.8,1} (pour laquelle \ \scriptstyle p_i=0.2,\ 1\le i\le 5\ , en bleu) et de la loi uniforme sur l'intervalle [0,1] (en rouge)

Une variable aléatoire \ \scriptstyle X\ est dite discrète s'il existe un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) \ \scriptstyle S\ fini ou dénombrable tel que

P(X\in S)=1.

La loi de \ \scriptstyle X\ est déterminée sans ambiguité par la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) de \scriptstyle (p_s)_{s\in S}\ , où

ps = P(X = s).

Si, par exemple, \ \scriptstyle X\ est une variable aléatoire réelle, on a

 F_X(x)=\sum_{s\in S}\ p_s\ 1_{[s;+\infty[}(x).

\scriptstyle \ 1_E\ est la fonction indicatrice de l'ensemble E.

Pour les variables aléatoires discrètes les plus courantes (par exemple, les lois uniformes, binomiales, de Poisson) \ \scriptstyle S\ est un ensemble bien ordonné : on peut alors numéroter ses éléments de manière croissante, p.e. \scriptstyle s_1\le s_2\le s_3\le\dots et numéroter les probabilités \scriptstyle \ p_s\ en conséquence, p.e. en posant \scriptstyle \ p_i=p_{s_i},\ i\ge 1. On a alors, si \scriptstyle \ s_i\le x < s_{i+1},

F_X(x)= \sum_{1\le j\le i}p_j.

Soit encore, plus généralement :

 \begin{align} F_X(x)&=\sum_{i\ge 1}\ q_i\ 1_{[s_i,s_{i+1}[}(x), \\ q_i&=\sum_{1\le j\le i}p_j. \end{align}

La fonction de répartition est alors une fonction constante par intervalles et sa représentation graphique est en escalier (L’escalier est une construction architecturale constituée d'une suite...). Les sauts d'une marche (La marche (le pléonasme marche à pied est également souvent utilisé) est un...) à l'autre de l'escalier se situent aux abscisses \ \scriptstyle s_i\ , et l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) du saut d'abscisse \ \scriptstyle s\ est \ \scriptstyle p_s=F_X(s)-F_X(s_-). En particulier la fonction de répartition d'une variable discrète X est discontinue exactement aux points s tels que \ \scriptstyle P(X=s)>0.\ Voir la section Propriétés de la fonction de répartition pour une démonstration.

Miscellanées

L'escalier de Cantor F est un exemple de fonction de répartition continue mais dont la dérivée est presque partout nulle. Ainsi, les formules précédentes ne valent pas pour l'escalier de Cantor : pour x>0, on n'a pas

 F(x)=\int_{-\infty}^{x} F^{\prime}(t)\, dt,

car l'escalier de Cantor F prend des valeurs strictement positives sur \scriptstyle\ ]0, +\infty[,\  alors que l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) constituant le membre de droite est identiquement nulle. En effet, l'ensemble

est de mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une...) nulle. Par ailleurs, la loi de probabilité associée à l'escalier de Cantor est diffuse (sans atome), puisque F est une fonction continue sur \scriptstyle\ \mathbb{R}.\ L'escalier de Cantor est en fait un exemple de fonction de répartition continue mais qui n'est pas absolument continue sur chaque intervalle.

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