Équation de Pell-Fermat - Définition

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Équation de Pell et entier algébrique

Si (a, b) satisfait une équation de Pell du type x2 -n.y2 = ±1, alors a + √n.b est un élément du groupe des unités de l'anneau des entiers de l'extension algébrique Q[√n]. Un élément du groupe des unités est un élément inversible dans l'anneau, l'égalité (a + √n.b).(a - √n.b) = ±1 montre de fait que l'élément est inversible.

Le groupe des unités ainsi que l'équation de Pell est étudié dans le cas où le paramètre est égal à cinq dans l'article Entier de Dirichlet, cette analyse montre la relation entre les équations de Pell et la théorie algébrique des nombres. L'analyse de cet anneau d'entiers a permis à Dirichlet et Legendre de trouver la démonstration du dernier théorème de Fermat dans le cas où le paramètre est égal à cinq.

Cas x²-ny² = -1

On démontre que si (x_1,y_1)\, est une solution particulière, alors les couples (x_k,y_k)\, vérifiant

x_k+y_k\sqrt{n} = (x_1+y_1\sqrt{n})^k avec k=1,3,5,7,\cdots

sont les solutions générales.

Exemple

Une solution particulière de x^2-5y^2=-1\, est (2,1)\, .

Les développements :

(2+\sqrt{5})^3=(38+17\sqrt{5})\,
(2+\sqrt{5})^5=(682+305\sqrt{5})\,
(2+\sqrt{5})^7=(12238+5473\sqrt{5})\,

fournissent les solutions (38,17)\, , (682,305)\, et (12238,5473)\,  :

38^2-5\cdot17^2=-1\,
682^2-5\cdot305^2=-1\,
12238^2-5\cdot5473^2=-1\,
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