Théorie algébrique des nombres - Définition

Introduction

En mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de l'arithmétique utilisant des outils issus de l'algèbre pour mieux comprendre les nombres. Son origine est l'étude des nombres entiers et particulièrement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits algébriques. Un exemple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat utilisant les entiers de Gauss.

Ces ensembles sont équipés de deux lois une addition et une multiplication qui vérifient les mêmes propriétés élémentaires que les entiers naturels, on parle d'anneaux. En particulier, certains d'entre eux disposent d'une division euclidienne. Les résultats classiques de l'arithmétique des entiers naturels s'appliquent encore : lemme d'Euclide, Identité de Bézout ou encore le théorème fondamental de l'arithmétique. Une structure est particulièrement utilisée, celle de l'anneau quotient Z/n.Z composée de congruences sur les entiers. Elle est à l'origine d'une branche de la théorie algébrique des nombres : l'arithmétique modulaire.

Tous les ensembles de cette nature n'admettent pas une division euclidienne. Il existe, parfois plusieurs décompositions en facteurs premiers. Cette spécificité amène à étudier de manière générale les propriétés de ces structures. Si l'ensemble choisi n'est pas trop vaste, c'est-à-dire qu'il existe un entier n tel que tout élément de l'ensemble est racine d'un polynôme dont le degré ne dépasse pas n, il existe une famille de propriétés toujours vérifiées. De telles structures sont appelées anneau de Dedekind. L'étude de ces structures est appelée théorie algébrique classique des nombres.

Une autre structure est utile, elle correspond au plus petit ensemble contenant celui des entiers algébriques considérés tel que tous les éléments non nuls admettent un inverse pour la multiplication. La structure porte le nom de corps, il s'obtient par une démarche de la même nature que celle qui permet de construire les nombres rationnels, on parle de corps des fractions. Ces ensembles dont les éléments sont appelés nombres algébriques sont l'objet d'une théorie dite de Galois.

Des technologies mathématiques avancées comme la cohomologie galoisienne, la théorie des corps de classe, la théorie des représentations d'un groupe fini et les fonctions L - permettent d'étudier les propriétés fines de ces classes de nombres. De nombreuses questions en théorie des nombres sont étudiées modulo p pour tous les nombres premiers p (voir les corps finis). Ce procédé est appelé localisation et conduit à la construction des nombres p-adiques ; l'étude des corps locaux emploie les mêmes techniques que celle décrite précédemment des corps de nombres algébriques. Elle est même en fait beaucoup plus simple, et les résultats sur les corps de nombres algébriques sont souvent déduits de ceux sur les corps locaux : c'est le principe local-global.

Arithmétique élémentaire

Résoudre des équations diophantiennes, c'est-à-dire des équations à coefficients entiers et dont les solutions recherchées sont entières est une question qui fascine l'humanité depuis l'antiquité. Ainsi, les Eléments d'Euclide expliquent comment construire des carrés parfaits dont la somme est encore un carré parfait.

Les propriétés et théorèmes utilisés pour résoudre de tels équations sont tout d'abord relativement simples. Ils dérivent tous plus ou moins directement de la division euclidienne dans Z, l'anneau des entiers. Les premiers résultats sont le lemme d'Euclide, l'identité de Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique qui indique que tout nombre entier positif se décompose de manière unique en produit de nombres premiers.

Ces théorèmes permettent de démontrer une série de résultats, comme le dernier théorème de Fermat pour n égal à 2 ou à 4, ou le petit théorème de Fermat ou celui appelé Wilson. Pour aller plus loin, il devient nécessaire de comprendre plus précisément la relation entre la multiplication de deux nombres et le reste du produit par une division euclidienne. Par exemple, résoudre le théorème des deux carrés de Fermat demande de déterminer la liste des nombres premiers p tel qu'il existe un entier naturel n où n² + 1 est un multiple de p. Le petit théorème de Fermat est un résultat fournissant des informations de cette nature, il est utilisé pour résoudre élémentaire la question des deux carrés ou étudier la primalité d'un entier (c'est-à-dire pour permettre de savoir si un nombre est premier ou non. On en trouve un exemple pour l'étude des nombres de Fermat.