Exemples d'espaces vectoriels - Définition

Espace vectoriel des polynômes

à une indéterminée

L'ensemble des polynômes à coefficients dans est un espace vectoriel sur noté . L'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire sont définies de manière évidente. Cet espace est de dimension infinie dénombrable. Si l'on ne garde que les polynômes dont le degré reste inférieur ou égal à n alors nous obtenons l'espace vectoriel qui est de dimension n + 1.

La base canonique de cet espace est une base monomiale.

à plusieurs indéterminées

L'ensemble des polynômes à plusieurs indéterminées à coefficients dans est un espace vectoriel sur noté . Ici n est un entier naturel non nul représentant le nombre d'indéterminées.

Voyez aussi: l'anneau des polynômes

Extensions de corps

Supposons que soit un sous-corps de (voir extension de corps). Alors peut être vu comme un espace vectoriel sur en restreignant la multiplication par un scalaire à l'ensemble (l'addition vectorielle étant définie normalement). La dimension de cet espace vectoriel est appelée degré de l'extension. Par exemple l'ensemble des nombres complexes forme un espace vectoriel de dimension deux sur le corps des réels . Cependant, l'ensemble des nombres réels forme un espace vectoriel (non dénombrable) de dimension infinie sur le corps des rationnels .

Si E est un espace vectoriel sur , alors E peut être aussi vu comme un espace vectoriel sur K. Les dimensions sont liées par la formule:

Par exemple , peut être considéré comme un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension 2n.