Base canonique - Définition et Explications

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Introduction

Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base canonique de \mathbb R^n, de la base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base...) de l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) des matrices ou de celui des polynômes.

Dans Kn

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Soit \mathbb{K} un corps et n un entier naturel.

La base canonique de \mathbb{K}^{n} se compose des vecteurs e_i\, (i variant de 1 à n) définis ainsi :

Pour i variant de 1 à n
e_i = ( \delta_{1,i} , \delta_{2,i} , \cdots , \delta_{n,i} ).

\delta_{1,i}\, désigne le symbole de Kronecker :

\delta_{ij} = \begin{cases}  1_\mathbb{K} & \text{si } i=j  \\  0_\mathbb{K} & \text{si } i \ne j \end{cases}

Où le 0 désigne le neutre de la première loi et le 1 celui de la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est...).

Il est important de se rappeler qu'une base a autant de vecteurs que la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) de l'espace vectoriel.

Exemple

Dans \mathbb{R}^{3} la base canonique est ((1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)).

En régle générale la base canonique est définie orthonormée, mais cela ne vaut que pour le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs...) canonique. De plus, les coordonnées d'un point (Graphie) (en l'absence de précision) sont données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) par rapport à cette base, et le produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens...) est fait implicitement en déclarant la base canonique directe.

Matrices

La base canonique des matrices est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des matrices \mathbb E_{{i,j}} qui présentent un 1 à l'intersection de la ième avec la jème colonne et 0 partout ailleurs.

Pour toute matrice M = (ai,j), ses coordonnées dans la base canonique sont les coefficients

M = \sum _{1\le i\le n,\ 1\le j\le p} a_{i,j} E_{i,j}
Exemple  :

\begin{pmatrix} 0 &1 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} = 0\cdot \begin{pmatrix} 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 4\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Polynômes

Dans l'anneau des polynômes, la base canonique est la famille de vecteurs (X^n)_{n\in\mathbb{N}}.

Cette base est infinie.

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