Entier naturel - Définition et Explications

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Introduction

Les entiers naturels permettent de compter (une pomme, deux pommes, trois pommes...).

En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle, sans signe et sans partie fractionnaire, c'est-à-dire sans chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) « après la virgule ».

Les entiers naturels sont donc, outre zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...), ceux que l'on commence à énumérer avec la comptine numérique : un, deux, trois, quatre… Mais la liste des entiers naturels est infinie, car chacun d'entre eux a un successeur, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur.

L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les opérations d'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) et de multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) notamment, constitue dès l'Antiquité grecque une branche des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) appelée « arithmétique ».

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des entiers naturels a été axiomatisé pour la première fois par Peano et Dedekind au XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...). Il peut être construit de diverses manières, la plus classique étant la méthode de Von Neumann.

Cet ensemble est noté « N », lettre capitale (Une capitale (du latin caput, capitis, tête) est une ville où siègent les pouvoirs,...) grasse dans les textes dactylographiés, le premier trait vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en...) étant doublé en écriture manuscrite (notamment au tableau). Le choix pour la police d'écriture blackboard gras a été de doubler plutôt le trait diagonal : \mathbb{N}. La notation « N* » désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.

Les entiers naturels s'identifient aux entiers relatifs positifs, aux nombres rationnels positifs pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 1 et plus généralement aux réels positifs de partie fractionnaire nulle.

Conception

De l'énumération à l'abstraction ( En philosophie, l'abstraction désigne à la fois une opération qui consiste a isoler par la...)

La notion d'entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...), occupant d'abord (et jusqu'au XVIIe siècle) toute l'idée de nombre, est probablement issue de la notion de collection. Certains objets ou animaux, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) en étant distincts les uns des autres, peuvent admettre une désignation commune, du fait de leur ressemblance ou d'une autre caractéristique partagée. Leur rassemblement constitue une collection, tel un troupeau (En zoologie et en élevage, un troupeau est un grand groupe d'animaux vivant ensemble. Le terme...) de vaches, un collier de perles, un tas de pierres.

Le nombre est en germe (En botanique, un germe est un embryon de plante contenu dans une graine. Le terme désigne...) dans l'énumération d'une collection, c'est-à-dire le fait de faire défiler tous ses éléments, un à un et sans répétition. Il prend consistance dans le constat que deux énumérations simultanées (d'un troupeau vers un enclos et de cailloux dans un sac, par exemple) se terminent soit toujours en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...), soit toujours en décalage. Le nombre est enfin représenté lorsque le sac de cailloux ou le bâton à encoches est utilisé pour indiquer une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...).

Cependant, le concept d'entier ne naît véritablement que lorsqu'il est départi de son représentant, c'est-à-dire lorsqu'il ne représente plus ni cailloux, ni encoches, ni vache (La vache est la femelle d'un mammifère domestique ruminant, généralement porteur de...). Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction : il est fait abstraction de la qualité de l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) pour s'intéresser uniquement à la quantité.

Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) donne au Livre VII des Éléments la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. » Cette abstraction lui permet de définir ensuite le nombre (entier naturel) comme collection d'unités ».

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Définition par les cardinaux

Les entiers naturels peuvent aussi être définis par abstraction sans passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques...) par la notion d'unité, comme l'a fait Frege (Fondements de l'arithmétique, 1884). Une collection A (ou concept selon sa terminologie) et une collection B sont dites équinumériques si on peut définir une correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...) biunivoque entre les objets de A et les objets de B, c'est-à-dire une correspondance qui associe à tout objet de A un unique objet de B, et à tout objet de B un unique objet de A. Un nombre est alors défini par abstraction des collections équinumériques entre elles, indépendamment de la nature de ces collections.

Construction par les ordinaux

La méthode de Von Neumann propose de définir les entiers naturels comme des ordinaux, c'est-à-dire comme des ensembles bien ordonnés tous comparables par inclusion.

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