Fonction multiplicative - Définition

Séries de Dirichlet

Produit de convolution

Si f et g sont deux fonctions multiplicatives, on définit une nouvelle fonction multiplicative f * g, appelée convolution de Dirichlet de f et g, comme suit :

,

où la somme portant sur tous les diviseurs positifs d de n.

En effet, introduisons n et m deux entiers premiers entre eux. Leurs décompositions en facteurs premiers ne comportent aucun nombre premier commun. Si d est un diviseur de n.m, alors tout diviseur premier p de d divise n.m et donc par le lemme d'Euclide ou bien n ou bien m. Par regroupement de facteurs premiers, l'entier d s'écrit de manière unique d=d₁.d₂ comme produit de deux nombres entiers premiers d₁ etd₂ divisant respectivement n et m. Par définition :

.

Or, comme f et g sont elles-mêmes supposées multiplicatives :

,

,

(f * g)(n.m) = (f * g)(n).(f * g)(m).

C'est précisément l'égalité attendue.

Avec cette opération, l'ensemble de toutes les fonctions multiplicatives se transforme en groupe abélien; l'élément neutre est ε.

Les relations les plus importantes vérifiées par les fonctions multiplicatives listées ci-dessus sont :

• ε = μ * 1 (la formule d'inversion de Möbius)
• φ = μ * Id
• d = 1 * 1
• σ = Id * 1 = φ * d
• σ_k = Id_k * 1
• Id = φ * 1 = σ * μ
• Id_k = σ_k * μ

Anneau de Dirichlet

La convolution de Dirichlet peut être définie pour des fonctions arithmétiques générales, et leur confère une structure d'anneau, l'anneau de Dirichlet.

Formellement, à une fonction arithmétique f est associée une série formelle :

Pour une fonction complètement multiplicative :

.