Euclide - Définition et Explications

Introduction

Euclide
Naissance	vers -325 ()
Décès	vers -265 Alexandrie (Égypte)
Champs	Mathématiques
Célèbre pour	Division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de...) Euclidienne et Géométrie Euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation...)
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Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si on a pu parler de la mort dans un sens cosmique plus...) vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce...) de la Grèce antique ayant probablement vécu en Afrique (D’une superficie de 30 221 532 km2 en incluant les îles, l’Afrique est un continent couvrant 6 % de la surface terrestre et 20,3 % de la...), auteur des Éléments, qui sont considérés comme l'un des textes fondateurs des mathématiques modernes.

Biographie

Peu d'informations sont connues à propos de la vie (La vie est le nom donné :) d'Euclide. Contemporain d'Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien : Ἀρχιμήδης/Arkhimếdês), né à Syracuse vers 287 av. J.-C. et mort à Syracuse en 212...) (né en -287 et mort en -212), il nait vers -325 et meurt vers -265.

Il part en Égypte pour y enseigner les mathématiques sous le règne de Ptolémée (Claudius Ptolemaeus (en grec : Κλαύδιος Πτολεμαῖος), communément...) I^er. Il travaille au musée d'Alexandrie (Alexandrie (grec :?λεξ?νδρεια, Copte : Rakot?, Arabe : ??????????, Al-?Iskandariya) est une ville d’Égypte de près de quatre millions...) et à l'école de mathématiques. Entouré de ses disciples, il mène de nombreux travaux de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par...).

Bibliographie

Œuvre d'Euclide

Statue d'Euclide à Oxford

• Éléments (vers 300 av. J.-C.). Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide (traduction de Denis Henrion, 1632) sur Gallica. Les deux derniers livres sont apocryphes. Le livre XIV serait de Hypsiclès).
  • Euclide, Les Éléments (vers 300 av. J.-C.). Volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) I, Livres I-IV, Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) plane ; trad. du texte de Heiberg et commentaires par Bernard Vitrac ; introduction générale par Maurice Caveing. Paris : Presses universitaires de France, 1990. (Bibliothèque d'histoire des sciences). 531 p. .
  • Euclide, Les Éléments. Volume II, Livres V à IX [Livres V-VI, Proportions et similitude ; Livres VII-IX, Arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science des...)] ; trad. du texte de Heiberg et commentaires par Bernard Vitrac. Paris : Presses universitaires de France, 1994. (Bibliothèque d'histoire des sciences). 572p. .
  • Euclide, Les Éléments. Volume III, Livre X, Grandeurs commensurables et incommensurables, classification des lignes irrationnelles ; trad. du texte de Heiberg et commentaires par Bernard Vitrac. Paris : Presses universitaires de France, 1998. (Bibliothèque d'histoire des sciences). 432 p. .
  • Euclide, Les Éléments. Volume IV, Livre XI-XIII, Géométrie des solides ; trad. du texte de Heiberg et commentaires par Bernard Vitrac. Paris : Presses universitaires de France, 2001. (Bibliothèque d'histoire des sciences). 482 p. .

• Données (94 théorèmes)
• Introductio harmonica, où il traite de la musique ;
• Optique et Catoptrique ;
• De la division des polygones (De divisionibus), ouvrage contesté et dont il ne reste qu'une version latine ;
• Les Porismes, restitués d'après l'analyse laissée par Pappus (Pappus d'Alexandrie vécut au IVe siècle après J.C. Il est un des plus important mathématiciens de la Grèce antique, connu pour son ouvrage Synagoge (“Collection”).) et publiés en 1860 à Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les...) par Michel Chasles.

Ses Œuvres complètes ont été données par David Gregory, Oxford, 1703, grec-latin, et traduites en français par François Peyrard, Paris, 1814-1818, 3 volumes in-4, avec texte grec et traduction latine.

Source partielle

• Marie-Nicolas Bouillet et Alexis Chassang (dir.), « Euclide » dans Dictionnaire universel d’histoire et de géographie (La géographie (du grec ancien γεωγραφία - geographia, composé de "η γη" (hê gê) la Terre et...), 1878  

Les Éléments de géométrie

Un fragment des Éléments d'Euclide trouvé à Oxyrhynque.

Les Éléments sont une compilation du savoir géométrique et restèrent le noyau de l'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) pendant près de 2000 ans. Il se peut qu'aucun des résultats contenus dans les Éléments ne soit d'Euclide, mais l'organisation (Une organisation est) de la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de l'espace et...) et son exposé lui sont dus.

Les Éléments sont divisés en treize livres. Les livres 1 à 6, géométrie plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes...), les livres 7 à 9, théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) des rapports, le livre 10, la théorie de nombres irrationnels d'Eudoxe, et enfin les livres 11 à 13 de géométrie dans l'espace. Le livre se termine par l'étude des propriétés des cinq polyèdres réguliers et une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) de leur existence. Les Éléments sont remarquables par la clarté avec laquelle les théorèmes sont énoncés et démontrés.

Plus d'un millier d'éditions manuscrites des Éléments ont été publiées avant la première version imprimée en 1482. La rigueur n'y est pas toujours à la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) des canons actuels, mais la méthode consistant à partir d'axiomes, de postulats et de définitions, pour déduire un maximum de propriétés des objets considérés, le tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) dans un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) organisé, était nouvelle pour l'époque. Les Éléments durent leur succès à leur supériorité d'organisation, de systématisation et de logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche...) mais pas d'exhaustivité (ni conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.), ni résolution par neusis ou ajustement). Les dernières recherches entreprises en histoire des mathématiques (L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale. Jusqu'au XVIIe siècle, le...) tendent à prouver qu'Euclide n'est pas le seul auteur des Éléments. Il était vraisemblablement entouré d'un collège (Un collège peut désigner un groupe de personnes partageant une même caractéristique ou un établissement d'enseignement.) de disciples ayant tous participé à leur élaboration.

La géométrie telle qu'elle est définie par Euclide dans ce texte fut considérée pendant des siècles comme la géométrie et il fut difficile de lui ôter cette suprématie ; Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski fut le premier à s'y essayer officiellement dès 1826, suivi de János Bolyai, mais la légende veut qu'il n'ait pas été pris au sérieux jusqu'à la mort de Gauss, lorsque l'on découvrit parmi les brouillons de ce dernier qu'il avait lui aussi imaginé des géométries non euclidiennes.

Euclide (d'après une peinture du XVIII^e siècle)

Dans ses livres, Euclide utilise sans la démontrer une propriété des droites, le "postulat d'Euclide", que l'on exprime de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit heure locale) et sa...) en affirmant que par un point pris hors d'une droite il passe une et une seule parallèle à cette droite.

Il y a essentiellement trois sortes de géométries :

• celle qui admet le postulat d'Euclide et que l'on appelle géométrie plane ou géométrie euclidienne,
• celle qui admet le postulat qui dit que par un point pris hors d'une droite il ne passe aucune parallèle à cette droite et que l'on appelle géométrie sphérique ou géométrie riemannienne,
• celle qui admet le postulat qui dit que par un point pris hors d'une droite il passe une infinité de parallèles à cette droite et que l'on appelle géométrie de Lobatchevski.

Riemann a montré qu'un modèle de la géométrie sphérique est la géométrie de la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une...) où les droites sont les méridiens ou grands cercles. Poincaré a donné un modèle de la géométrie de Lobatchevski. Étant donné que ces trois géométries ont des modèles, il n'y aucune raison d'en privilégier l'une plutôt que l'autre. La théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un important champ d'étude,...) d'Einstein a porté un coup fatal à la géométrie d'Euclide en montrant la courbure de l'espace. En effet lorsque l'espace se courbe, il abandonne son aspect euclidien.

Euclide s'est aussi intéressé à l'arithmétique dans le livre 7. Il a ainsi défini la division que l'on appelle division euclidienne et un algorithme pour calculer le plus grand commun diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement dit, il existe un entier q tel que n = d × q.) de deux nombres, connu sous le nom d'algorithme d'Euclide.