Soit
un préfaisceau. On appelle faisceau associé au préfaisceau
un faisceau
muni d'un morphisme de préfaisceaux
possédant la propriété universelle suivante: pour tout morphisme
dans un faisceau, il existe un unique morphisme
tel que
. Le faisceau associé, s'il existe, est unique. Dans le cas des préfaisceaux à valeurs dans une catégorie où la limite inductive existe (par exemple les catégories des ensembles, des groupes, des anneaux, des algèbres sur un anneau, des modules sur un anneau etc), le faisceau associé existe. Le morphisme
induit un isomorphisme des germes
.
la limite étant prise sur tous les ouverts contenant x, la relation d'ordre sur ces ouverts étant l'inclusion
, et les morphismes de transition étant les morphismes de restriction
. Cette limite inductive est aussi appelée fibre de
en x (EGA, 0.3.1.6). Un élément de
est pensé comme un germe d'une section de F sur un voisinage ouvert de x.
La fibre en x du faisceau E_p ci-dessus est le singleton si x est différent de p et c'est E si x=p.
Morphismes injectifs et morphismes surjectifs
Un morphisme de faisceaux
sur X est injectif si
est injectif pour tout ouvert U de X. Il est surjectif si au niveau des germes, les morphismes
sont surjectifs (ou sont des épimorphismes). Les morphismes injectifs sont exactement les monomorphismes dans la catégorie des faisceaux sur X, et les morphismes surjectifs sont exactement les épimorphismes dans cette catégorie.
Image directe et image inverse
Soit f:X − > Y une application continue entre deux espaces topologiques. Soit F un préfaisceau sur X. Son image directe par f est le préfaisceau f* (F) qui à tout ouvert U de Y associe F(f− 1(U)), les applications de restrictions sont évidentes. Si F est un faisceau, il en est de même pour f*F.
La construction de l'image inverse est plus délicate. Soit
un préfaisceau sur Y, à valeurs dans une catégorie où la limite inductive existe. A tout ouvert U de X, on associe la limite inductive des
lorsque W parcours l'ensemble des ouverts de Y contenant f(U). Lorsque
est un faisceau, ce procédé ne donne pas un faisceau en général et
est alors par définition le faisceau associé à ce préfaisceau.
Les constructions d'image directe et d'image inverse sont adjointes dans le sens suivant: Soient
,
des faisceaux sur X, Y respectivement. Alors on a une bijection canonique entre Hom(f− 1G,F) et
.
Noyau, image, quotient
Soit
un morphisme de faisceaux en groupes abéliens sur X.
Le noyau de f est le faisceau défini par
.
L'image de f est le faisceau associé au préfaisceau
.
Le conoyau de f est le faisceau associé au préfaisceau
En particulier, si f est l'inclusion d'un sous-faisceau
, alors son conoyau est le faisceau quotient de
par
. On note ce quotient par
. En général,
est différent de
. En revanche, on a l'égalité au niveau des germes:
