La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout point. En revanche, pour les propriétés locales comme la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction....) en un point (Graphie) ou la limite, le formalisme des voisinages est souvent plus simple.
Dans un espace topologique, un voisinage d'un point est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) contenant un ouvert contenant ce point. Soit un espace topologique et
un point de
. Notons alors
l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des voisinages de
. Nous pouvons alors remarquer que :
Nous venons de démontrer que les voisinages de forment un filtre (Un filtre est un système servant à séparer des éléments dans un flux.) sur
pour l'inclusion. On peut de plus remarquer que :
La deuxième propriété signifie qu'il existe un ensemble (l'ouvert contenant a) qui est voisinage de chacun de ses points.
La section précédente montre que les axiomes de la topologie définissent les voisinages en chaque point. On peut alors définir axiomatiquement l'ensemble des voisinages. Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) nous permet de définir une topologie.
Soit un ensemble. Une application de
dans
notée
forme un ensemble de voisinage si et seulement si:
Considérons alors l'ensemble des parties de qui sont voisinages de chacun de leurs points plus l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.). Cet ensemble forme une topologie.
L'ensemble des voisinages d'un point est vaste. L'analyse des filtres pour l'inclusion nous indique qu'il nous suffit de connaître une base de filtre pour définir cet ensemble de voisinages. La définition, déduite directement du concept de base de filtre, est donc la suivante : Une base de voisinages d'un point
d'un ensemble
est une famille de sous-ensembles de
contenant
et telle que toute intersection finie contient un élément de
.
Le formalisme des voisinages permet d'exprimer simplement les notions de limite et de continuité en un point.
Soit un espace topologique et
un sous espace de
. Soit
une fonction de
dans
un espace topologique. Soit
un point de l'adhérence
de
, la fonction
admet
comme limite au point
si et seulement si l'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X...) d'un voisinage de
est un voisinage de
dans
. L'expression de la limite prend alors la forme suivante:
Soit une fonction d'un espace topologique
dans
et soit
un point élément du domaine de définition de
. La fonction
est continue au point
si et seulement si l'image réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) d'un voisinage de
est un voisinage de
. L'expression de la continuité au point
prend alors la forme suivante :
Il est possible de compléter avec la valeur
. Si on associe à cet espace le filtre de Frêchet, contenant tous les complémentaires des ensembles finis qui contiennent la valeur
. Alors
possède un ensemble de voisinages. On peut alors définir la limite d'une suite
à valeur dans
ou
. Cette suite converge vers la valeur
quand
tend vers
si et seulement si:
Dans l'ensemble des réels, on définit les voisinages d'un réel a de la manière suivante:
Exprimons alors les notions de limite et de continuité pour une fonction définie sur
un sous ensemble des nombres réels dans
un espace topologique.
Soit un élément de l'adhérence de
et
un élément de
. Dire que la fonction
a pour limite
au point
, c'est dire que pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) voisinage
il existe
strictement supérieur à
tel que l'image de l'intersection de l'intervalle
avec
est inclu dans
. Ou encore:
La continuité en si
est un élément du domaine de définition de
s'exprime de la manière suivante:
Dans le cas des fonctions réelles de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) réelle, on obtient:
Pour la continuité on a:
Il est possible d'étendre la droite réelle avec les valeurs et
. on définit alors leurs voisinages:
Remarque: On peut remarquer que la droite réelle étendue avec les voisinages précédents forme bien une topologie. En revanche cette topologie n'est pas déduite de la distance usuelle. En effet, les points limites de la droite réelle n'ont pas de distance vis à vis des autres points.
Dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, on obtient:
Tout espace métrique est muni d'une topologie déduite. En effet, soit un espace métrique, soit
un point de
et
un réel strictement positif. L'ensemble des boules ouvertes de centre
et de rayon
forment une base de filtre pour l'inclusion. Considérons alors
l'ensemble tous les filtres générés par cette base de filtre. Montrons alors que
forment un ensemble de voisinages. Par construction un ensemble
est élément de
si et seulement s'il existe une boule ouverte de centre
et de rayon
strictement positif, contenue dans
.
Nous venons de démontrer que les axiomes des ensembles de voisinages sont bien satisfaits, ce qui montre que l'application de dans
définit bien un ensemble de voisinages. Les ouverts sont alors les ensembles
tel que pour tout point
de
il existe une boule ouverte de centre
et inclu dans
.
Exprimons alors les notions de limite et de continuité pour une fonction définie sur
dans
un espace métrique. On note
(resp.
) la distance dans
(resp. dans
).
Soit un élément de l'adhérence de
et
un élément de
. Dire que la fonction
a pour limite
au point
, c'est dire que pour tout
strictement supérieur à
, il existe
strictement supérieur à
, tel que l'intersection l'image de la boule ouverte de centre
et de rayon
avec
, est incluse dans la boule ouverte de centre
et de rayon
, Ou encore:
La continuité en si
est un élément du domaine de définition de
s'exprime de la manière suivante:
L'ensemble est un voisinage de l'ensemble
si et seulement si
est un voisinage de tous les points de
.
est appelé voisinage uniforme de l'ensemble
si et seulement s'il existe un rayon
strictement positif tel que, pour tout
de
, la boule ouverte de centre
et de rayon
est incluse dans
.
Exemple: dans l'ensemble des réels muni de la distance issue de la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.), l'ensemble défini par :
est un voisinage de l'ensemble des entiers naturels, mais n'est pas un voisinage uniforme de celui-ci.
Il existe des topologies qui ne sont pas associées à des espaces métriques. La topologie faible en est un exemple.