La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout point. En revanche, pour les propriétés locales comme la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x,...) en un point (Graphie) ou la limite, le formalisme des voisinages est souvent plus simple.

Voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici...) dans un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts...)

Dans un espace topologique, un voisinage d'un point est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des éléments de B...) contenant un ouvert contenant ce point. Soit un espace topologique et un point de . Notons alors l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des voisinages de . Nous pouvons alors remarquer que :

1. (donc )
2. 
3. 
4. 

Nous venons de démontrer que les voisinages de forment un filtre (Un filtre est un système servant à séparer des éléments dans un flux.) sur pour l'inclusion. On peut de plus remarquer que :

1. 
2. 

La deuxième propriété signifie qu'il existe un ensemble (l'ouvert contenant a) qui est voisinage de chacun de ses points.

Topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) définie à partir des voisinages

La section précédente montre que les axiomes de la topologie définissent les voisinages en chaque point. On peut alors définir axiomatiquement l'ensemble des voisinages. Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) nous permet de définir une topologie.

Soit un ensemble. Une application de dans notée forme un ensemble de voisinage si et seulement si:

1. est un filtre de pour l'inclusion
2. 
3. 

Considérons alors l'ensemble des parties de qui sont voisinages de chacun de leurs points plus l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.). Cet ensemble forme une topologie.

Base de voisinages

L'ensemble des voisinages d'un point est vaste. L'analyse des filtres pour l'inclusion nous indique qu'il nous suffit de connaître une base de filtre pour définir cet ensemble de voisinages. La définition, déduite directement du concept de base de filtre, est donc la suivante : Une base de voisinages d'un point d'un ensemble est une famille de sous-ensembles de contenant et telle que toute intersection finie contient un élément de .

Limite et continuité en un point

Le formalisme des voisinages permet d'exprimer simplement les notions de limite et de continuité en un point.

Limite

Soit un espace topologique et un sous espace de . Soit une fonction de dans un espace topologique. Soit un point de l'adhérence de , la fonction admet comme limite au point si et seulement si l'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à...) d'un voisinage de est un voisinage de dans . L'expression de la limite prend alors la forme suivante:

Continuité

Soit une fonction d'un espace topologique dans et soit un point élément du domaine de définition de . La fonction est continue au point si et seulement si l'image réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) d'un voisinage de est un voisinage de . L'expression de la continuité au point prend alors la forme suivante :

Exemples

Le cas des entiers positifs

Il est possible de compléter avec la valeur . Si on associe à cet espace le filtre de Frêchet, contenant tous les complémentaires des ensembles finis qui contiennent la valeur . Alors possède un ensemble de voisinages. On peut alors définir la limite d'une suite à valeur dans ou . Cette suite converge vers la valeur quand tend vers si et seulement si:

Le cas des nombres réels

Dans l'ensemble des réels, on définit les voisinages d'un réel a de la manière suivante:

• est un voisinage de si et seulement s'il existe un réel strictement positif tel que . Les intervalles cités forment une base de filtre pour les voisinages du point . C'est un cas particulier des espaces métriques traités en exemple et démontré à la suite de cette section.

Exprimons alors les notions de limite et de continuité pour une fonction définie sur un sous ensemble des nombres réels dans un espace topologique.

Soit un élément de l'adhérence de et un élément de . Dire que la fonction a pour limite au point , c'est dire que pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) voisinage il existe strictement supérieur à tel que l'image de l'intersection de l'intervalle avec est inclu dans . Ou encore:

La continuité en si est un élément du domaine de définition de s'exprime de la manière suivante:

Dans le cas des fonctions réelles de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. ...) réelle, on obtient:

Pour la continuité on a:

Extension de la droite réelle

Il est possible d'étendre la droite réelle avec les valeurs et . on définit alors leurs voisinages:

• Voisinage de  : V est un voisinage de si et seulement s'il existe un réel M tel que
• Voisinage de  : V est un voisinage de si et seulement s'il existe un réel M tel que

Remarque: On peut remarquer que la droite réelle étendue avec les voisinages précédents forme bien une topologie. En revanche cette topologie n'est pas déduite de la distance usuelle. En effet, les points limites de la droite réelle n'ont pas de distance vis à vis des autres points.

Dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, on obtient:

Espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.)

Tout espace métrique est muni d'une topologie déduite. En effet, soit un espace métrique, soit un point de et un réel strictement positif. L'ensemble des boules ouvertes de centre et de rayon forment une base de filtre pour l'inclusion. Considérons alors l'ensemble tous les filtres générés par cette base de filtre. Montrons alors que forment un ensemble de voisinages. Par construction un ensemble est élément de si et seulement s'il existe une boule ouverte de centre et de rayon strictement positif, contenue dans .

• est un filtre pour l'inclusion par construction.
• Tout élément de contient car il contient une boule centrée sur et de rayon strictement positif.
• Enfin soit un élément de . Alors il existe un réel tel que la boule ouverte de centre et de rayon soit inclue dans . Soit alors un élément de cette boule. est à une distante de avec strictement plus petit que par définition de la boule. L'inégalité triangulaire nous garantit que la boule ouverte de centre et de rayon est incluse dans la boule de centre et de rayon .

Nous venons de démontrer que les axiomes des ensembles de voisinages sont bien satisfaits, ce qui montre que l'application de dans définit bien un ensemble de voisinages. Les ouverts sont alors les ensembles tel que pour tout point de il existe une boule ouverte de centre et inclu dans .

Exprimons alors les notions de limite et de continuité pour une fonction définie sur dans un espace métrique. On note (resp. ) la distance dans (resp. dans ).

Soit un élément de l'adhérence de et un élément de . Dire que la fonction a pour limite au point , c'est dire que pour tout strictement supérieur à , il existe strictement supérieur à , tel que l'intersection l'image de la boule ouverte de centre et de rayon avec , est incluse dans la boule ouverte de centre et de rayon , Ou encore:

La continuité en si est un élément du domaine de définition de s'exprime de la manière suivante:

L'ensemble est un voisinage de l'ensemble si et seulement si est un voisinage de tous les points de .

est appelé voisinage uniforme de l'ensemble si et seulement s'il existe un rayon strictement positif tel que, pour tout de , la boule ouverte de centre et de rayon est incluse dans .

Exemple: dans l'ensemble des réels muni de la distance issue de la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.), l'ensemble défini par :

est un voisinage de l'ensemble des entiers naturels, mais n'est pas un voisinage uniforme de celui-ci.

Topologie faible

Il existe des topologies qui ne sont pas associées à des espaces métriques. La topologie faible en est un exemple.