La fonction zêta de Riemann
est une des plus importantes fonctions des mathématiques, à cause de sa relation avec la distribution des nombres premiers. La fonction est définie pour tout nombre complexe s avec une partie réelle > 1 par la formule suivante :
En prenant s = 2, nous voyons que
est égale à la somme des inverses des carrés d'entiers positifs :
Comment savons-nous qu'elle converge ? Nous pouvons démontrer ceci avec l'inégalité suivante :
Or la série est une série à coefficients tous positifs. La série est donc croissante et bornée, donc convergente.
Ceci nous donne la limite supérieure
, mais la valeur exacte ζ(2) = π2 / 6 resta longtemps inconnue, jusqu'à ce que Leonhard Euler la calcule numériquement en 1735, (ré)inventant pour ce faire la formule connue à présent sous le nom de formule sommatoire d'Euler-Maclaurin, et constate son égalité (jusqu'à la vingtième décimale) avec π2 / 6, puis construise la démonstration dont nous venons de parler. Plus généralement, il démontra à la même occasion que
a une belle expression en nombres de Bernoulli quand s est un entier positif pair.
