Théorème de Descartes-Euler - Définition
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La version de Descartes
Dans son mémoire inédit, Descartes énonce le théorème suivant :
«L'angle droit étant pris pour unité, la somme des angles de toutes les faces d'un polyèdre convexe est égale à quatre fois le nombre de sommets diminué de 2
»
L'aspect du théorème semble fort éloigné de la relation d'Euler. Elle lui est pourtant rigoureusement équivalente et Descartes dans les applications qu'il en fait passe assez naturellement de cette forme à celle d'Euler.
Preuve de l'équivalence :
- Il faut se servir de la propriété de la somme des angles d'un polygone convexe : si le polygone convexe a n côtés, la somme des angles vaut 2(n - 2) droits.
- La somme de tous les angles sur toutes les faces est donc
- L'égalité de Descartes s'écrit donc
-
- Rigoureusement équivalente à
-
