🔎 Convexe : définition et explications

Convexe

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En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette...) creux ou bosselé ne l'est pas.

Un objet est concave s'il est le complémentaire d'un objet convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un...).

Cette notion concrète (La concrète est une pâte plus ou moins dure obtenue après extraction d’une matière première fraîche d’origine végétale...) a été généralisée dans le cadre des espaces vectoriels et a débouché en analyse sur la notion de fonction convexe.

Le terme convexe est également utilisé :

en optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.). Voir à ce sujet l’article sur les lentilles.
en finance. Voir à ce sujet l’article sur le gamma et la convexité.

Ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) convexe

Une partie convexe.

Une partie non convexe (localement concave).

On désigne ici par E un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) réel ou complexe. On définit la notion de convexité pour des sous-ensembles de E.

Quels que soient x et y éléments de E, on appelle segment d'extrémités x, y le sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des...) de E ainsi défini :

$[x, y] = \{z \in E\, /\, \exists\, t \in [0,\, 1], z = t\, x + (1 - t)\, y\}$

Un sous-ensemble C de E est dit convexe si, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x et y dans C, $[x,\, y] \subset C$ . La partie vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) est convexe.

Plus généralement, soit un système $\{v_1,v_2,\dots,v_p\}$ de vecteurs de E. Un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) w de E est une combinaison (Une combinaison peut être :) convexe de ces vecteurs s'il existe p réels positifs ou nuls $\quad \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_p$ de somme égale à 1 tels que $w = \sum_{k=1}^p \lambda_k\, v_k$ .

Un sous-ensemble de E est convexe si et seulement s'il est stable par combinaison convexe, c'est-à-dire que toute combinaison convexe de vecteurs de C appartient à C. Cette caractérisation se démontre par récurrence sur le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de vecteurs.

Propriétés élémentaires

Une partie convexe est connexe.

L'intersection d'une famille quelconque de sous-ensembles convexes de E est un sous-ensemble convexe de E. Ce n'est pas le cas en général pour une réunion.

Si C est un ensemble convexe, il en est de même de son adhérence et de son intérieur.

Enveloppe convexe (En mathématiques, l'enveloppe convexe d'un objet ou d'un ensemble d'objets est l'ensemble convexe de taille minimale qui contient ces objets. L'enveloppe convexe...)

Étant donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) une partie quelconque A de E, il existe au moins un sous-ensemble convexe de E contenant A, à savoir E lui-même ; alors on peut définir l'enveloppe convexe $Conv(A)$ de A : c'est l'intersection de tous les sous-ensembles convexes de E contenant A.

C'est donc le plus petit sous-ensemble convexe de E contenant A, caractérisé par les deux propriétés suivantes :

$\ \mathrm{Conv}(A)$ est convexe et $A \subset \mathrm{Conv}(A)$ ;
si C est un sous-ensemble convexe de E contenant A, alors $\quad \mathrm{Conv}(A) \subset C$ .

Si x, y sont deux points de E, l'enveloppe convexe de la paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) {x, y} est le segment [x, y].

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...)

L'enveloppe convexe d'un ensemble A est l'ensemble des combinaisons convexes de A.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions...)
Soit B l'ensemble des combinaisons convexes de A. Toute combinaison convexe de A appartient à $\quad \mathrm{Conv}(A)$ (cf. ci-dessus). Donc $\quad B\subset \mathrm{Conv}(A)$ .
D'autre part l'ensemble de toutes les combinaisons convexes de A est un convexe (facile) contenant A et donc $\quad\mathrm{Conv}(A)$ . Ainsi $\mathrm{Conv}(A)\subset B$ .
Donc $\quad B=\mathrm{Conv}(A)$ .

Théorème

L'enveloppe convexe d'un ensemble A équilibré est équilibrée

Démonstration
Soient $\quad \{ v_1,v_2,...,v_p\}$ une partie finie de A et $\quad\lambda$ un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) vérifiant $|\lambda|\le 1$ .
Tout $w \in \mathrm{Conv}(A)$ s'écrit $w=\sum_{k=1}^N \alpha_k v_k$ avec $\alpha_k\ge 0$ et $\sum_{k=1}^N \alpha_k = 1$ .
Alors $\quad \lambda w =\sum_{k=1}^N \alpha_k \lambda v_k$ . Mais pour tout $\quad k\quad \lambda v_k \in A$ puisque A est équilibré. Il en résulte immédiatement que $\quad \lambda w \in \mathrm{Conv}(A)$ .

Exemples

Les sous-ensembles convexes de l'ensemble $\R$ des nombres réels sont les intervalles de $\ \R$ .
Étant donnés n intervalles $\ I_1,\, \dots, \, I_n$ de $\ \R$ , leur produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On...) $\ I_1 \times \cdots \times I_n$ est un sous-ensemble convexe de $\ \R^n$ .
Dans un espace vectoriel (réel ou complexe), tout sous-espace vectoriel est convexe ; il en est de même de tout sous-espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :).
Dans un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette...) (réel ou complexe), toute boule est convexe, qu'elle soit ouverte ou fermée.

Jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par exemple : La jauge de contrainte, traduisant un effort...) d'un ensemble convexe

Soit K une partie convexe de E contenant l'origine. On appelle jauge de K (relativement à l'origine) la fonction p_K de E dans $\mathbb R_+ \cup \{+ \infty \}$ définie par

$p_K(v)= \inf\, \{\lambda ,\lambda>0 \quad et \quad \lambda^{-1}v \in K \}$

ou $p_K(v)= +\infty$ si l'ensemble ci-dessus est vide.

Théorème

La jauge p_K d'un convexe K contenant l'origine vérifie les propositions suivantes:

(i)Si $\quad \lambda \ge 0$ alors $\quad p_K(\lambda v)=\lambda p_K(v)$

(ii) $p_K(u+v) \le p_K(u)+p_K(v)$

Démonstration

(i): Ce résultat est immédiat.
(ii):Soient 2 vecteurs $\quad u$ et $\quad v$ quelconques. Le résultat est évident si $p_K(u)=+\infty$ ou $p_K(v)=+\infty$

Sinon:
$\quad \alpha \ge p_K(u)$ équivaut à $\quad \alpha^{-1} u \in K$
$\quad \beta \ge p_K(v)$ équivaut à $\quad \beta^{-1} v \in K$
. En utilisant la convexité, la conjonction de ces 2 propositions entraîne:
$(\alpha+\beta)^{-1} (u+v) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\alpha^{-1}u + \frac{\beta}{\alpha+\beta}\beta^{-1}v\quad\in K$ , ce qui équivaut à $\alpha+\beta\ge p_K(u+v)$ .
Donc $\quad p_K(u+v)\le \inf_{\alpha \ge p_K(u)}\alpha+\inf_{\beta \ge p_K(v)}\beta =p_K(u)+p_K(v)$

Théorème

Si l'espace E est réel, la jauge d'un convexe symétrique K (par rapport à 0) et absorbant est une semi-norme sur E.

Si l'espace E est complexe, la jauge d'un convexe K équilibré et absorbant est une semi-norme sur E.

Démonstration
Tout d'abord K étant absorbant il en résulte immédiatement que $\forall v \in E \quad p_K(v)<+\infty$ .
De plus, en utilisant le théorème précédent il suffit de vérifier que $\forall \lambda \in \mathbb K\quad p_K(\lambda v)=|\lambda| p_K(v)$

Si l'espace E est réel, la symétrie de $\mathbb K$ montre immédiatement que pour $\lambda <0\quad p_K(\lambda v)=-\lambda p_K(v)=|\lambda|p_K(v).$
Si l'espace E est complexe.

Ecrivons $\quad\lambda=|\lambda|e^{i\theta}$ . K étant équilibré, pour tout $\quad \mu>0\quad \mu^{-1}|\lambda|e^{i\theta}v \in K$ équivaut à $\mu^{-1}|\lambda|v \in K$ puisque $\quad |e^{i\theta}|=|e^{-i\theta}|=1$ . Il en résulte l'égalité des bornes inférieures, c’est-à-dire $\quad p_K(\lambda v)=p_K(|\lambda|v)=|\lambda|p_K(v)$ .

Projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) sur un convexe fermé d'un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en...)

Soient $\mathbb H$ un espace de Hilbert sur $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et M un ensemble convexe fermé (non vide) de $\mathbb H$ . Si $\quad v$ désigne un vecteur quelconque de $\mathbb H$ , le problème $\min_{w \in M}\|v-w\|$ admet une solution unique $\quad w^*$ . On note alors $\exists!\,w^*\in M \quad \|v-w^*\|=\min_{w \in M}\|v-w\|$ .

Cette solution est caractérisée par l'inéquation variationnelle :

$\forall w \in M \quad Re(w-w^*|v-w^*) \le 0 \,$

De plus la projection : $p_M: \quad v \longrightarrow w^*$ est 1-lipschitzienne et par conséquent uniformément continue.

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) en rapport avec la convexité

Concavité | Enveloppe convexe | Fonction convexe | Inégalité de Jensen | Théorème de Carathéodory | Théorème de Helly | Point (Graphie) extrémal d'un convexe | Théorème de Krein-Milman | Théorème de Radon (Le théorème de Radon établit la possibilité de reconstituer en volume un objet au moyen de la totalité de ses projections. Ce théorème offrait la théorie permettant de réaliser des...) | Théorème de Tverberg | Théorème des quatre sommets | Polyèdre (Traditionnellement, un polyèdre est une forme géométrique à 3 dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre provient du grec classique...) | Théorème de séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque chose ou son résultat. Plus particulièrement il est employé dans plusieurs domaines :) des convexes

Voir aussi

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