Convexe - Définition et Explications

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En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) creux ou bosselé ne l'est pas.

Un objet est concave s'il est le complémentaire d'un objet convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...).

Cette notion concrète (La concrète est une pâte plus ou moins dure obtenue après extraction d’une...) a été généralisée dans le cadre des espaces vectoriels et a débouché en analyse sur la notion de fonction convexe.

Le terme convexe est également utilisé :

  • en optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...). Voir à ce sujet l’article sur les lentilles.
  • en finance. Voir à ce sujet l’article sur le gamma et la convexité.

Ensemble convexe (Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points A et...)

Une partie convexe.
Une partie convexe.
Une partie non convexe (localement concave).
Une partie non convexe (localement concave).

On désigne ici par E un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) réel ou complexe. On définit la notion de convexité pour des sous-ensembles de E.

Quels que soient x et y éléments de E, on appelle segment d'extrémités x, y le sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) de E ainsi défini :

[x, y] = \{z \in E\, /\, \exists\, t \in [0,\, 1], z = t\, x + (1 - t)\, y\}

Un sous-ensemble C de E est dit convexe si, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) x et y dans C, [x,\, y] \subset C. La partie vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) est convexe.

Plus généralement, soit un système \{v_1,v_2,\dots,v_p\} de vecteurs de E. Un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) w de E est une combinaison (Une combinaison peut être :) convexe de ces vecteurs s'il existe p réels positifs ou nuls \quad \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_p de somme égale à 1 tels que w = \sum_{k=1}^p \lambda_k\, v_k.

Un sous-ensemble de E est convexe si et seulement s'il est stable par combinaison convexe, c'est-à-dire que toute combinaison convexe de vecteurs de C appartient à C. Cette caractérisation se démontre par récurrence sur le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de vecteurs.

Propriétés élémentaires

Une partie convexe est connexe.

L'intersection d'une famille quelconque de sous-ensembles convexes de E est un sous-ensemble convexe de E. Ce n'est pas le cas en général pour une réunion.

Si C est un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) convexe, il en est de même de son adhérence et de son intérieur.

Enveloppe convexe (En mathématiques, l'enveloppe convexe d'un objet ou d'un ensemble d'objets est l'ensemble convexe...)

Étant donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) une partie quelconque A de E, il existe au moins un sous-ensemble convexe de E contenant A, à savoir E lui-même ; alors on peut définir l'enveloppe convexe Conv(A) de A : c'est l'intersection de tous les sous-ensembles convexes de E contenant A.

C'est donc le plus petit sous-ensemble convexe de E contenant A, caractérisé par les deux propriétés suivantes :

  • \ \mathrm{Conv}(A) est convexe et A \subset \mathrm{Conv}(A) ;
  • si C est un sous-ensemble convexe de E contenant A, alors \quad \mathrm{Conv}(A) \subset C.

Si x, y sont deux points de E, l'enveloppe convexe de la paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts...) {x, y} est le segment [x, y].

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...)

L'enveloppe convexe d'un ensemble A est l'ensemble des combinaisons convexes de A.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...)
Soit B l'ensemble des combinaisons convexes de A. Toute combinaison convexe de A appartient à \quad \mathrm{Conv}(A) (cf. ci-dessus). Donc \quad B\subset \mathrm{Conv}(A).
D'autre part l'ensemble de toutes les combinaisons convexes de A est un convexe (facile) contenant A et donc \quad\mathrm{Conv}(A). Ainsi \mathrm{Conv}(A)\subset B.
Donc \quad B=\mathrm{Conv}(A).

Théorème

L'enveloppe convexe d'un ensemble A équilibré est équilibrée

Démonstration
Soient \quad \{ v_1,v_2,...,v_p\} une partie finie de A et \quad\lambda un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) vérifiant |\lambda|\le 1.
Tout w \in \mathrm{Conv}(A) s'écrit w=\sum_{k=1}^N \alpha_k v_k avec \alpha_k\ge 0et \sum_{k=1}^N \alpha_k = 1.
Alors \quad \lambda w =\sum_{k=1}^N \alpha_k \lambda v_k. Mais pour tout \quad k\quad \lambda v_k \in A puisque A est équilibré. Il en résulte immédiatement que \quad \lambda w \in \mathrm{Conv}(A).

Exemples

  • Les sous-ensembles convexes de l'ensemble \R des nombres réels sont les intervalles de \ \R.
  • Étant donnés n intervalles \ I_1,\, \dots, \, I_n de \ \R, leur produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé...) \ I_1 \times \cdots \times I_n est un sous-ensemble convexe de \ \R^n.
  • Dans un espace vectoriel (réel ou complexe), tout sous-espace vectoriel (En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un...) est convexe ; il en est de même de tout sous-espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :).
  • Dans un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une structure mathématique qui développe des...) (réel ou complexe), toute boule est convexe, qu'elle soit ouverte ou fermée.

Jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par...) d'un ensemble convexe

Soit K une partie convexe de E contenant l'origine. On appelle jauge de K (relativement à l'origine) la fonction pK de E dans \mathbb R_+ \cup \{+ \infty \} définie par

p_K(v)=   \inf\, \{\lambda ,\lambda>0 \quad et \quad \lambda^{-1}v \in K \}
ou p_K(v)=  +\infty si l'ensemble ci-dessus est vide.

Théorème

La jauge pK d'un convexe K contenant l'origine vérifie les propositions suivantes:
(i)Si \quad \lambda \ge 0 alors \quad p_K(\lambda v)=\lambda p_K(v)
(ii)p_K(u+v) \le p_K(u)+p_K(v)

Démonstration

  • (i): Ce résultat est immédiat.
  • (ii):Soient 2 vecteurs \quad u et \quad v quelconques. Le résultat est évident si p_K(u)=+\infty ou p_K(v)=+\infty

Sinon:
\quad \alpha \ge p_K(u) équivaut à \quad \alpha^{-1} u \in K
\quad \beta \ge p_K(v) équivaut à \quad \beta^{-1} v \in K
. En utilisant la convexité, la conjonction de ces 2 propositions entraîne:
(\alpha+\beta)^{-1} (u+v) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\alpha^{-1}u + \frac{\beta}{\alpha+\beta}\beta^{-1}v\quad\in K, ce qui équivaut à \alpha+\beta\ge p_K(u+v).
Donc \quad p_K(u+v)\le \inf_{\alpha \ge p_K(u)}\alpha+\inf_{\beta \ge p_K(v)}\beta =p_K(u)+p_K(v)

Théorème

Si l'espace E est réel, la jauge d'un convexe symétrique K (par rapport à 0) et absorbant est une semi-norme sur E.
Si l'espace E est complexe, la jauge d'un convexe K équilibré et absorbant est une semi-norme sur E.

Démonstration
Tout d'abord K étant absorbant il en résulte immédiatement que \forall v \in E \quad p_K(v)<+\infty.
De plus, en utilisant le théorème précédent il suffit de vérifier que \forall \lambda \in \mathbb K\quad p_K(\lambda v)=|\lambda| p_K(v)

  • Si l'espace E est réel, la symétrie de \mathbb K montre immédiatement que pour \lambda <0\quad p_K(\lambda v)=-\lambda p_K(v)=|\lambda|p_K(v).
  • Si l'espace E est complexe.

Ecrivons \quad\lambda=|\lambda|e^{i\theta} . K étant équilibré, pour tout \quad \mu>0\quad \mu^{-1}|\lambda|e^{i\theta}v \in K équivaut à \mu^{-1}|\lambda|v \in K puisque \quad |e^{i\theta}|=|e^{-i\theta}|=1. Il en résulte l'égalité des bornes inférieures, c’est-à-dire \quad p_K(\lambda v)=p_K(|\lambda|v)=|\lambda|p_K(v).

Projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...) sur un convexe fermé d'un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit...)

Soient \mathbb H un espace de Hilbert sur \mathbb R ou \mathbb C et M un ensemble convexe fermé (non vide) de \mathbb H. Si \quad v désigne un vecteur quelconque de \mathbb H, le problème \min_{w \in M}\|v-w\| admet une solution unique \quad w^*. On note alors \exists!\,w^*\in M \quad \|v-w^*\|=\min_{w \in M}\|v-w\|.

Cette solution est caractérisée par l'inéquation variationnelle :

\forall w \in M \quad Re(w-w^*|v-w^*) \le 0 \,

De plus la projection : p_M: \quad v \longrightarrow w^* est 1-lipschitzienne et par conséquent uniformément continue.

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) en rapport avec la convexité
Concavité | Enveloppe convexe | Fonction convexe | Inégalité de Jensen | Théorème de Carathéodory | Théorème de Helly (Le théorème de Helly est un résultat combinatoire sur les convexes.) | Point (Graphie) extrémal d'un convexe | Théorème de Krein-Milman | Théorème de Radon (Le théorème de Radon établit la possibilité de reconstituer en volume un objet au moyen de la...) | Théorème de Tverberg | Théorème des quatre sommets | Polyèdre (Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes...) | Théorème de séparation des convexes (Étant donnés deux convexes d'un même plan ne se rencontrant pas, il est toujours...)
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