En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) creux ou bosselé ne l'est pas.
Un objet est concave s'il est le complémentaire d'un objet convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...).
Cette notion concrète (La concrète est une pâte plus ou moins dure obtenue après extraction d’une...) a été généralisée dans le cadre des espaces vectoriels et a débouché en analyse sur la notion de fonction convexe.
Le terme convexe est également utilisé :
On désigne ici par E un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) réel ou complexe. On définit la notion de convexité pour des sous-ensembles de E.
Quels que soient x et y éléments de E, on appelle segment d'extrémités x, y le sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) de E ainsi défini :
Un sous-ensemble C de E est dit convexe si, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) x et y dans C, . La partie vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) est convexe.
Plus généralement, soit un système de vecteurs de E. Un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) w de E est une combinaison (Une combinaison peut être :) convexe de ces vecteurs s'il existe p réels positifs ou nuls
de somme égale à 1 tels que
.
Un sous-ensemble de E est convexe si et seulement s'il est stable par combinaison convexe, c'est-à-dire que toute combinaison convexe de vecteurs de C appartient à C. Cette caractérisation se démontre par récurrence sur le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de vecteurs.
Une partie convexe est connexe.
L'intersection d'une famille quelconque de sous-ensembles convexes de E est un sous-ensemble convexe de E. Ce n'est pas le cas en général pour une réunion.
Si C est un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) convexe, il en est de même de son adhérence et de son intérieur.
Étant donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) une partie quelconque A de E, il existe au moins un sous-ensemble convexe de E contenant A, à savoir E lui-même ; alors on peut définir l'enveloppe convexe Conv(A) de A : c'est l'intersection de tous les sous-ensembles convexes de E contenant A.
C'est donc le plus petit sous-ensemble convexe de E contenant A, caractérisé par les deux propriétés suivantes :
Si x, y sont deux points de E, l'enveloppe convexe de la paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts...) {x, y} est le segment [x, y].
Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...)
Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...)
Soit B l'ensemble des combinaisons convexes de A. Toute combinaison convexe de A appartient à (cf. ci-dessus). Donc
.
D'autre part l'ensemble de toutes les combinaisons convexes de A est un convexe (facile) contenant A et donc . Ainsi
.
Donc .
Théorème
Démonstration
Soient une partie finie de A et
un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) vérifiant
.
Tout s'écrit
avec
et
.
Alors . Mais pour tout
puisque A est équilibré. Il en résulte immédiatement que
.
Soit K une partie convexe de E contenant l'origine. On appelle jauge de K (relativement à l'origine) la fonction pK de E dans définie par
Théorème
Démonstration
Sinon:
équivaut à
équivaut à
. En utilisant la convexité, la conjonction de ces 2 propositions entraîne:
, ce qui équivaut à
.
Donc
Théorème
Démonstration
Tout d'abord K étant absorbant il en résulte immédiatement que .
De plus, en utilisant le théorème précédent il suffit de vérifier que
Ecrivons . K étant équilibré, pour tout
équivaut à
puisque
. Il en résulte l'égalité des bornes inférieures, c’est-à-dire
.
Soient un espace de Hilbert sur
ou
et M un ensemble convexe fermé (non vide) de
. Si
désigne un vecteur quelconque de
, le problème
admet une solution unique
. On note alors
.
Cette solution est caractérisée par l'inéquation variationnelle :
De plus la projection : est 1-lipschitzienne et par conséquent uniformément continue.
Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) en rapport avec la convexité |
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