Théorème de Descartes-Euler - Définition

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- Introduction - Énoncé - Preuve - Exemples et contre-exemples - Applications - Lien avec les pavages de la sphère - Généralisations - La version de Descartes

Introduction

Le théorème de Descartes-Euler (ou relation d'Euler), formulé par Leonhard Euler en 1752, énonce une formule mathématique qui relie le nombre de côtés, de sommets, et de faces dans un polyèdre du genre 0. Un polyèdre de genre 0 est un polyèdre sans trou : en supprimant une face on obtient une surface simplement connexe ; un polyèdre convexe est de genre 0.

Il semble cependant que Descartes ait prouvé une relation analogue dans un traité jamais publié. C'est la raison pour laquelle cette relation porte ce double nom.

Énoncé

Soit un polyèdre de genre 0, on note :

$f$ le nombre de faces de celui-ci,
$a$ le nombre d'arêtes de celui-ci,
$s$ le nombre de sommets de celui-ci,

On peut démontrer qu'on a toujours : $s - a + f = 2 \,$

Preuve

La preuve présentée ici est la première démonstration rigoureuse de la relation d'Euler. Elle a été donnée par Cauchy, alors âgé de 20 ans :

Soit un polyèdre de genre 0, on va chercher à démontrer que $f - a + s = 2 \,$ dans celui-ci. On enlève une face à notre polyèdre. En écartant vers l'extérieur les côtés de cette face manquante, on déforme le polyèdre en l'aplatissant et on obtient alors un graphe plan dont les nœuds sont les sommets et les arcs sont les arêtes déformées (cette déformation est appelée un homéomorphisme). Le nombre de sommets, d'arêtes et de faces n'a pas changé par rapport au polyèdre de départ (considérant que tout l'extérieur de notre graphe représente la face enlevée).

Premières étapes de la démonstration pour le cube

Maintenant, à chaque fois qu'on voit une face ayant plus de trois côtés, on trace une diagonale (c’est-à-dire un arc joignant deux sommets non directement reliés). Cette opération ajoute une face et une arête à notre graphe et ne modifie pas le nombre de sommets, donc l'expression $f - a + s\,$ reste inchangée. On répète cette opération jusqu'à ne plus avoir que des faces triangulaires.

Arrivé à ce stade, on répète les deux opérations suivantes :

On supprime un à un tous les triangles qui comportent 'un' seul côté aux frontières extérieures de notre graphe. A chaque suppression, on enlève une arête et une face (pas de modification au niveau des sommets). Cela conserve donc l'expression $f - a + s\,$ .
On supprime un à un tous les triangles qui comportent 'deux' arêtes aux frontières extérieures de notre graphe. A chaque suppression, on enlève un sommet, deux arêtes et une face. Cela conserve donc à nouveau l'expression $f - a + s\,$ .

En répétant les deux étapes précédentes, l'une après l'autre, il ne finit par rester qu'un seul triangle. Ce triangle seul compte deux faces (l'intérieur et l'extérieur du triangle), trois arêtes et trois sommets. Ainsi $f = 2$ , $a = 3$ , et $s = 3$ , donc $f - a + s \,$ est égale à 2. Cette expression est égale à l'expression $f - a + s \,$ d'origine car chaque étape maintenait l'égalité de cette expression. On en conclut que notre polyèdre de départ vérifiait l'expression $f - a + s = 2 \,$ . La relation est donc prouvée.

Exemples et contre-exemples

On peut procéder à la vérification de la propriété pour les cinq solides platoniciens

Nom	S (sommets)	A (arêtes)	F (faces)	Caractéristique d'Euler : S − A + F
Tétraèdre	4	6	4	2
Hexaèdre ou cube	8	12	6	2
Octaèdre	6	12	8	2
Dodécaèdre	20	30	12	2
Icosaèdre	12	30	20	2

Si les polyèdres ne sont pas convexes, ils ne sont pas du genre 0 et on ne peut pas appliquer le théorème de Descartes-Euler. On peut alors trouver pour S − A + F des valeurs différentes de 2: