Le théorème de Descartes-Euler (ou relation d'Euler), formulé par Leonhard Euler en 1752, énonce une formule mathématique qui relie le nombre de côtés, de sommets, et de faces dans un polyèdre du genre 0. Un polyèdre de genre 0 est un polyèdre sans trou : en supprimant une face on obtient une surface simplement connexe ; un polyèdre convexe est de genre 0.
Il semble cependant que Descartes ait prouvé une relation analogue dans un traité jamais publié. C'est la raison pour laquelle cette relation porte ce double nom.
Soit un polyèdre de genre 0, on note :
On peut démontrer qu'on a toujours :
La preuve présentée ici est la première démonstration rigoureuse de la relation d'Euler. Elle a été donnée par Cauchy, alors âgé de 20 ans :
Soit un polyèdre de genre 0, on va chercher à démontrer que
Maintenant, à chaque fois qu'on voit une face ayant plus de trois côtés, on trace une diagonale (c’est-à-dire un arc joignant deux sommets non directement reliés). Cette opération ajoute une face et une arête à notre graphe et ne modifie pas le nombre de sommets, donc l'expression
Arrivé à ce stade, on répète les deux opérations suivantes :
En répétant les deux étapes précédentes, l'une après l'autre, il ne finit par rester qu'un seul triangle. Ce triangle seul compte deux faces (l'intérieur et l'extérieur du triangle), trois arêtes et trois sommets. Ainsi f = 2, a = 3, et s = 3, donc
On peut procéder à la vérification de la propriété pour les cinq solides platoniciens
Nom | Image | S (sommets) | A (arêtes) | F (faces) | Caractéristique d'Euler : S − A + F |
---|---|---|---|---|---|
Tétraèdre |
![]() | 4 | 6 | 4 | 2 |
Hexaèdre ou cube |
![]() | 8 | 12 | 6 | 2 |
Octaèdre |
![]() | 6 | 12 | 8 | 2 |
Dodécaèdre | 20 | 30 | 12 | 2 | |
Icosaèdre |
![]() | 12 | 30 | 20 | 2 |
Si les polyèdres ne sont pas convexes, ils ne sont pas du genre 0 et on ne peut pas appliquer le théorème de Descartes-Euler. On peut alors trouver pour S − A + F des valeurs différentes de 2:
Nom | Image | S (Sommets) | A (arêtes) | F (faces) | Caractéristique d'Euler : S − A + F |
---|---|---|---|---|---|
Tetrahemihexaèdre |
![]() | 6 | 12 | 7 | 1 |
Octahemioctaèdre |
![]() | 12 | 24 | 12 | 0 |
Cubohemioctaèdre |
![]() | 12 | 24 | 10 | −2 |