Transversalité
Transversalité
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Introduction

En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangence.

Deux sous-espaces vectoriels F, G d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir...) E sont dits transverses quand F + G = E. Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :

\operatorname{codim}(F) + \operatorname{codim}(G)=\operatorname{codim} (F\cap G).

Deux sous-espaces affines Y, Z d'un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais...) X sont dites transverses si leurs directions sont transverses, c'est-à-dire si

\overrightarrow{Y}+\overrightarrow{Z}=\overrightarrow{X}.

Deux sous-variétés M et N d'une variété différentielle P sont dits transverses lorsque, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) x de M\cap N, les espaces tangents \displaystyle T_xM et \displaystyle T_xN sont transverses dans l'espace tangent \displaystyle T_xP, c'est-à-dire si

\displaystyle T_xP=T_xM + T_xN

Dans la suite, m,n,p désignent les dimensions respectives de M,N,P.

Remarques :

  • La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) reste valable pour les variétés banachiques.
  • Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
  • Si m + n < p, alors la condition de transversalité (En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de...) ne peut être vérifiée seulement si les sous-variétés M et N sont disjointes.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) — Une intersection transverse et non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) M\cap N est une sous-variété différentielle de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) m + np.

On a donc dans ce cas les relations

\operatorname{dim} (M\cap N) = \operatorname{dim}(M) + \operatorname{dim}(N)-\operatorname{dim}(P).
\operatorname{codim} (M\cap N) = \operatorname{codim}(M) + \operatorname{codim}(N).

Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des...) régulière (éventuellement vide).

Généricité

Théorème — Si M et N sont deux sous-variétés de classe Ck (\scriptstyle k\geq 1) de dimensions respectives m et n, alors il existe un Ck-difféomorphisme h de P, aussi proche de l'identité que souhaité en topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) Ck, tel que h(M) intersecte transversalement N.

En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.

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