Transversalité - Définition

Introduction

En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangence.

Deux sous-espaces vectoriels F, G d'un espace vectoriel E sont dits transverses quand F + G = E. Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :

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Deux sous-espaces affines Y, Z d'un espace affine X sont dites transverses si leurs directions sont transverses, c'est-à-dire si

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Deux sous-variétés M et N d'une variété différentielle P sont dits transverses lorsque, pour tout point x de , les espaces tangents et sont transverses dans l'espace tangent , c'est-à-dire si

Dans la suite, m,n,p désignent les dimensions respectives de M,N,P.

Remarques :

• La définition reste valable pour les variétés banachiques.
• Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
• Si m + n < p, alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée seulement si les sous-variétés M et N sont disjointes.

On a donc dans ce cas les relations

Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière (éventuellement vide).

Généricité

En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.