Espace topologique - Définition et Explications

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Introduction

La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un contexte général pour traiter des notions de limite, de continuité, dans le cadre d'un continuum ou d'un espace discret, voire fini. Dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...), les espaces topologiques forment le socle conceptuel dans lequel ces notions sont définies. Le cadre est suffisamment général pour s'appliquer à un grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de situations différentes : ensembles finis, discrets, espaces de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...), espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels les plus complexes et géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement,...). Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques ; ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...). La branche des mathématiques qui étudie ces espaces s'appelle la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par...).

La topologie générale ne tente pas d'élucider la question très complexe de la « composition du continu » : elle part d'une approche axiomatique, en utilisant le vocabulaire de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des ensembles ; autrement dit, elle suit une approche fondée sur une notion de structure (en l'occurrence, ici, une structure topologique), en faisant usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'une axiomatique ensembliste. Les axiomes sont minimaux, et en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) c'est la structure la plus générale pour étudier les concepts cités. Ils ont été formalisés par Kolmogorov au début du XXe siècle.

La topologie générale, en elle même, s'attache à définir le vocabulaire. Elle possède deux branches importantes : la topologie différentielle et la topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des...), où la notion générale de « forme » est étudiée avec un degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) de complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par...) et d'approfondissement extrêmes.

Cet article est technique, une vision générale et historique est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) dans Topologie.

Concepts

Définitions

Un espace topologique est un couple (E,Τ), où E est un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) et Τ un ensemble de parties de E que l'on définit comme les ouverts de (E,Τ), vérifiant les propriétés suivantes :

  1. L'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) et E\; appartiennent à Τ.
  2. Toute réunion d'ouverts est un ouvert, c'est-à-dire si (O_i)_{i\in I} est une famille (finie ou infinie, dénombrable ou non dénombrable) d'éléments de Τ, alors
    \bigcup_{i \in I}O_i  \in \Tau.
  3. Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert, c'est-à-dire si O_1,\ldots,O_n sont des éléments de Τ (n>0), alors
     O_1\cap \ldots \cap O_n  \in \Tau.

L'ensemble Τ, qui est un ensemble de parties de E, est alors appelé une topologie sur E.

Un fermé d'une topologie est défini comme le complémentaire d'un ouvert. Par conséquent, la famille des fermés contient E et l'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.). Il résulte de la théorie élémentaire des ensembles que toute intersection de fermés est un fermé et que toute réunion finie de fermés est un fermé.

Il est d'usage de rappeler la présence de la partie vide à la propriété 1 ; c'est toutefois en toute rigueur superflu, puisqu'on peut l'obtenir en appliquant la propriété 2 à la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située...) indexée par l'ensemble vide.

Un des premiers rôles de la topologie est de décrire les voisinages des points. C'est une notion-clé pour comprendre la topologie. Elle sert par exemple à la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) de continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction....) ou de limite en un point (Graphie). Cette notion est formalisée dans l'article voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...). Rappelons ici simplement qu'une partie de E est un voisinage d'un point si elle contient un ouvert contenant ce point.

Exemples

  • Un exemple simple est (\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N})). où \mathcal{P}(\mathbb{N}) est l'ensemble des parties de \N. Tous les singletons étant des ouverts, tous les points sont isolés les uns des autres. La topologie ainsi définie est appelée topologie discrète. Plus généralement, la topologie discrète sur un ensemble X\, est celle pour laquelle \Tau =\mathcal{P}(X). En contrepartie de la simplicité, elle n'offre pas beaucoup d'intérêt.
  • La topologie grossière sur X\, est celle pour laquelle les seuls ouverts sont la partie vide et X\, lui-même.
  • Un exemple sur les entiers est (\N, \mathcal F)\;\mathcal F\; désigne le filtre (Un filtre est un système servant à séparer des éléments dans un flux.) de Fréchet, c'est-à-dire tous les complémentaires d'ensembles finis et l'ensemble vide. Cette topologie donne un sens au voisinage de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...) et permet par exemple de définir la notion de limite d'une suite. Cette topologie n'est pas séparée.
  • L'article sur les voisinages démontre qu'il existe une topologie associée à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre...). Un ouvert O\; est alors un ensemble qui contient, pour chaque point a\; de O\;, une boule ouverte de centre a\;. Cela revient au même de dire qu'un ouvert est une réunion de boules ouvertes.
  • L'ensemble des nombres réels est donc muni naturellement d'une topologie issue de sa distance. Un ouvert est alors une union d'intervalles ouverts.
  • La topologie produit est une topologie définie sur un produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé...) d'espaces topologiques. Un exemple simple est donnée par les espaces vectoriels de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) finie réels ou complexes. La topologie produit s'applique aussi aux espaces vectoriels de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) infinie, on obtient alors la topologie de la convergence simple (La convergence simple ou ponctuelle est un critère de convergence dans un espace fonctionnel,...).
  • La topologie induite d'un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) F\; d'un ensemble E\; est la topologie obtenue par intersection des ouverts de E\; avec F\;. Cette définition permet par exemple de définir la topologie induite par celle de \R sur un intervalle, et ainsi de pouvoir définir les propriétés de continuité et de limite à des fonctions définies sur un intervalle de \R.
  • Tout ensemble ordonné peut être muni de topologies liées à l'ordre. La topologie la plus commune s'appelle topologie de l'ordre.
  • D'autres exemples de topologies plus sophistiquées sont donnés dans l'article voisinage.
  • Le cube de Hilbert (En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit muni de la topologie produit. D'après...) [0,1]^\N est une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées....) en dimension infinie.
  • L'ensemble de Cantor (L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un...) est source de nombreux exemples et contre-exemples.

Topologie engendrée par une famille de fonctions

  • Soient X un ensemble quelconque, Y un espace topologique et f une fonction de X dans Y. On peut alors définir sur X une topologie particulière liée à ce système. C'est la plus petite topologie (ou la plus grossière) sur X rendant f continue.
  • De même, si f était de Y dans X, on définirait sur X la topologie la plus grande (ou la plus fine) telle que f soit continue.

On peut généraliser ces deux définitions en remplaçant l'espace Y par une famille d'espaces (Yi)i∈I, et l'application f par une famille d'applications (fi)i∈I.

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