Espace topologique - Définition

Introduction

La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un contexte général pour traiter des notions de limite, de continuité, dans le cadre d'un continuum ou d'un espace discret, voire fini. Dans ce contexte, les espaces topologiques forment le socle conceptuel dans lequel ces notions sont définies. Le cadre est suffisamment général pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes : ensembles finis, discrets, espaces de la géométrie euclidienne, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels les plus complexes et géométrie algébrique. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques ; ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques. La branche des mathématiques qui étudie ces espaces s'appelle la topologie.

La topologie générale ne tente pas d'élucider la question très complexe de la « composition du continu » : elle part d'une approche axiomatique, en utilisant le vocabulaire de la théorie des ensembles ; autrement dit, elle suit une approche fondée sur une notion de structure (en l'occurrence, ici, une structure topologique), en faisant usage d'une axiomatique ensembliste. Les axiomes sont minimaux, et en ce sens c'est la structure la plus générale pour étudier les concepts cités. Ils ont été formalisés par Kolmogorov au début du XX^e siècle.

La topologie générale, en elle même, s'attache à définir le vocabulaire. Elle possède deux branches importantes : la topologie différentielle et la topologie algébrique, où la notion générale de « forme » est étudiée avec un degré de complexité et d'approfondissement extrêmes.

Cet article est technique, une vision générale et historique est donnée dans Topologie.

Concepts

Définitions

Un espace topologique est un couple (E,Τ), où E est un ensemble et Τ un ensemble de parties de E que l'on définit comme les ouverts de (E,Τ), vérifiant les propriétés suivantes :

1. L'ensemble vide et appartiennent à Τ.
2. Toute réunion d'ouverts est un ouvert, c'est-à-dire si est une famille (finie ou infinie, dénombrable ou non dénombrable) d'éléments de Τ, alors

   .

3. Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert, c'est-à-dire si sont des éléments de Τ (n>0), alors

   .

L'ensemble Τ, qui est un ensemble de parties de E, est alors appelé une topologie sur E.

Un fermé d'une topologie est défini comme le complémentaire d'un ouvert. Par conséquent, la famille des fermés contient E et l'ensemble vide. Il résulte de la théorie élémentaire des ensembles que toute intersection de fermés est un fermé et que toute réunion finie de fermés est un fermé.

Il est d'usage de rappeler la présence de la partie vide à la propriété 1 ; c'est toutefois en toute rigueur superflu, puisqu'on peut l'obtenir en appliquant la propriété 2 à la réunion indexée par l'ensemble vide.

Un des premiers rôles de la topologie est de décrire les voisinages des points. C'est une notion-clé pour comprendre la topologie. Elle sert par exemple à la définition de continuité ou de limite en un point. Cette notion est formalisée dans l'article voisinage. Rappelons ici simplement qu'une partie de E est un voisinage d'un point si elle contient un ouvert contenant ce point.

Exemples

• Un exemple simple est . où est l'ensemble des parties de . Tous les singletons étant des ouverts, tous les points sont isolés les uns des autres. La topologie ainsi définie est appelée topologie discrète. Plus généralement, la topologie discrète sur un ensemble est celle pour laquelle . En contrepartie de la simplicité, elle n'offre pas beaucoup d'intérêt.

• La topologie grossière sur est celle pour laquelle les seuls ouverts sont la partie vide et lui-même.

• Un exemple sur les entiers est où désigne le filtre de Fréchet, c'est-à-dire tous les complémentaires d'ensembles finis et l'ensemble vide. Cette topologie donne un sens au voisinage de l'infini et permet par exemple de définir la notion de limite d'une suite. Cette topologie n'est pas séparée.

• L'article sur les voisinages démontre qu'il existe une topologie associée à tout espace métrique. Un ouvert est alors un ensemble qui contient, pour chaque point de , une boule ouverte de centre . Cela revient au même de dire qu'un ouvert est une réunion de boules ouvertes.

• L'ensemble des nombres réels est donc muni naturellement d'une topologie issue de sa distance. Un ouvert est alors une union d'intervalles ouverts.

• La topologie produit est une topologie définie sur un produit cartésien d'espaces topologiques. Un exemple simple est donnée par les espaces vectoriels de dimension finie réels ou complexes. La topologie produit s'applique aussi aux espaces vectoriels de dimension infinie, on obtient alors la topologie de la convergence simple.

• La topologie induite d'un sous-ensemble d'un ensemble est la topologie obtenue par intersection des ouverts de avec . Cette définition permet par exemple de définir la topologie induite par celle de sur un intervalle, et ainsi de pouvoir définir les propriétés de continuité et de limite à des fonctions définies sur un intervalle de .

• Tout ensemble ordonné peut être muni de topologies liées à l'ordre. La topologie la plus commune s'appelle topologie de l'ordre.

• D'autres exemples de topologies plus sophistiquées sont donnés dans l'article voisinage.

• Le cube de Hilbert est une généralisation du cube en dimension infinie.

• L'ensemble de Cantor est source de nombreux exemples et contre-exemples.

Topologie engendrée par une famille de fonctions

• Soient X un ensemble quelconque, Y un espace topologique et f une fonction de X dans Y. On peut alors définir sur X une topologie particulière liée à ce système. C'est la plus petite topologie (ou la plus grossière) sur X rendant f continue.

• De même, si f était de Y dans X, on définirait sur X la topologie la plus grande (ou la plus fine) telle que f soit continue.

On peut généraliser ces deux définitions en remplaçant l'espace Y par une famille d'espaces (Y_i)_i∈I, et l'application f par une famille d'applications (f_i)_i∈I.