Théorème — Soit
un espace mesuré. S'il existe une partie infinie dénombrable de la tribu
qui engendre celle-ci, alors
a la puissance du continu.
Démonstration : Notons
la partie infinie dénombrable de l'énoncé.
Les tribus infinies ont toutes au moins la puissance du continu (voir la section « Cardinalité des tribus » de l'article tribu).
contenant l'ensemble infini
, elle est infinie et son cardinal est donc supérieur ou égal à
, cardinal du continu.
Montrons l'inégalité inverse. Avec les notations de la section précédente, la classe
qui initialise l'induction est infinie dénombrable. On construit une réunion dénombrable de parties de
à partir de chaque suite d'éléments de
(étant bien sûr entendu que de nombreuses suites fournissent la même réunion). Le cardinal de
est donc inférieur ou égal à celui de
, qui est
. Il en est de même avec les intersections et on conclut que le cardinal de
est inférieur ou égal à
.
En reprenant le même raisonnement, le cardinal de
est à son tour inférieur ou égal à
.
Quand α est un ordinal successeur c'est la même méthode que celle explicitée sur le passage de
à
; quand α est un ordinal limite, il est par définition union dénombrable d'ensembles de cardinal inférieur ou égal à
, donc lui-même de cardinal inférieur ou égal à
.
Enfin la tribu
est écrite comme une union d'ensembles qui sont tous de la forme
, en utilisant un ensemble d'indices de cardinal
. On conclut que
.
Ce théorème s'applique notamment à la tribu borélienne sur l'espace
, qui est engendrée par les pavés à coordonnées rationnelles. Plus généralement, sa conclusion est aussi valable sur tout espace de Lusin infini.
