Tribu borélienne
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La tribu borélienne sur un (ou d'un) espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur T contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.

La tribu de Borel peut, de manière équivalente, se définir comme la plus petite σ-algèbre qui contient tous les sous-ensembles fermés de T. Un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du...) de T est un borélien s’il peut être obtenu à partir d'ensembles ouverts en effectuant une suite dénombrable d'opérations d'unions, d'intersections et de passage au complémentaire, mais, contrairement à l'intuition première, on n'obtient pas ainsi, loin de là, tous les boréliens (quoiqu'on obtienne tous les boréliens usuels) ; en effet la classe obtenue selon ce schéma de construction n'est pas stable pour les réunions et intersections dénombrables, et il faut, pour obtenir tous les boréliens, itérer transfiniment ce schéma - pour plus de détails, voir Classe de Baire.

Un exemple particulièrement important est la tribu borélienne (La tribu borélienne sur un (ou d'un) espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur T contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.) de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des nombres réels. Elle intervient dans la mesure de Borel ou de Lebesgue et aussi dans toute probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de...). La tribu des boréliens sur l'ensemble des nombres réels est la plus petite σ-algèbre sur \mathbb R contenant tous les intervalles. La tribu borélienne est aussi engendrée par les intervalles ouverts de la forme \left]a, +\infty\right[, où a\in \mathbb R ; il suffit même de considérer a dans une partie dense de \mathbb R comme par exemple \mathbb Q l'ensemble des rationnels.

Plus généralement, si la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des...) de T est engendrée par une famille dénombrable A, stable par intersection finie, la tribu borélienne associée à T est aussi engendrée par A.

Un espace mesurable (On appelle espace mesurable le couple (X,Ω).) est dit lusinien ou standard s'il est isomorphe à une partie borélienne d'un espace polonais (Un espace métrisable à base dénombrable (ou séparable, cela revient au même pour un espace métrisable) est un espace polonais si sa topologie peut être définie par une distance qui en fait un espace...) muni de la tribu induite par la tribu borélienne. Un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Kuratowski assure que

Tous les espaces mesurables standard non dénombrables sont isomorphes.

Ainsi, du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) de la structure borélienne, tous les espaces non-dénombrables usuels sont indistinguables : R est isomorphe à tous les Rn, à l'espace NN, au cube de Hilbert (En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tychonoff, c'est un espace compact.), à l'espace de Cantor (On appelle espace de Cantor l'espace produit . C'est un espace compact métrisable à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable sont...), à l'espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel...) séparable C([0,1]) (ensemble des fonctions continues sur [0,1] muni de la topologie de la convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) uniforme), etc. quoique ces espaces soient très différents du point de vue topologique ou algébrique.

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