Trigonalisation - Définition et Explications

En algèbre linéaire, trigonaliser une matrice consiste à réduire celle-ci sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure, ou inférieure. Ceci n'est pas tout le temps possible, mais seulement sous certaines conditions.

Dans la suite, on se donne n \geq 1 un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier...) et \mathbb{K} un corps commutatif. M_n( \mathbb{K}) désignera l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des matrices à n lignes et n colonnes à coefficients dans \mathbb{K}.

Matrices triangulaires

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n...) sont nuls. En général, on note T_n^+(\mathbb{K}) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures. C'est un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.), et même mieux, c'est une sous-algèbre de M_n( \mathbb{K}). Une matrice triangulaire (En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle.) supérieure T est donc de la forme :

T= \begin{bmatrix} a_{1,1} & \cdots & \cdots & a_{1,n} \\ 0 & \ddots & \ddots & a_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n,n} \end{bmatrix}

Remarque : De la même manière, une matrice triangulaire inférieure est une matrice dont tous les coefficients situés strictement au dessus de la diagonale sont nuls.

Endomorphismes et matrices trigonalisables

Soit M \in M_n( \mathbb{K}), une matrice à n lignes et n colonnes à coefficients dans \mathbb{K}. On dit que la matrice M est trigonalisable s'il existe une matrice inversible (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d'ordre n est dite inversible ou régulière...) P \in GL_n( \mathbb{K}) et une matrice T \in T_n^+( \mathbb{K}) triangulaire supérieure telles que :

M = P − 1TP

Cela revient à dire que M est semblable dans M_n( \mathbb{K}) à une matrice triangulaire supérieure.

En particulier, toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable, bien évidemment. (Il suffit de choisir P = InIn est la matrice identité (En algèbre linéaire, la matrice unité ou matrice identité (cette dernière dénomination étant un anglicisme) est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Nous pouvons...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) n.)

Soit E un espace vectoriel sur le corps \mathbb{K}, de dimension n et u un endomorphisme de E. On dit que u est trigonalisable s'il existe une base \mathcal{B} de E telle que M_{\mathcal{B}}(u) \in T_n^+( \mathbb{K}), où M_{\mathcal{B}}(u) désigne la matrice de l'endomorphisme u dans la base \mathcal{B}. Autrement dit, un endomorphisme est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice associée est triangulaire supérieure.

De plus, un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans n'importe quelle base de E est trigonalisable.

Conditions de trigonalisation (En algèbre linéaire, trigonaliser une matrice consiste à réduire celle-ci sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure, ou inférieure. Ceci n'est pas tout le temps possible, mais seulement sous certaines conditions.)

Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :

  • Toute matrice diagonalisable (En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente...) est a fortiori trigonalisable (car une matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou...) est un cas particulier de matrice triangulaire).
  • Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé...) est scindé dans \mathbb{K} [X].
En particulier, si \mathbb{K} est algébriquement clos, toute matrice de M_n( \mathbb{K}) est trigonalisable. Cet énoncé est aussi valable pour un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension n sur \mathbb{K}.
Cas particulier\mathbb{K}= \mathbb{C} : toute matrice de M_n( \mathbb{C}) est trigonalisable, car \mathbb{C} est algébriquement clos (voir théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de d'Alembert-Gauss).
  • Un endomorphisme est trigonalisable s'il existe un drapeau de E stable par cet endomorphisme.

Exemples de trigonalisation

Matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels

Exemple de trigonalisation d'une matrice carrée d'ordre 3

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