Polynôme caractéristique - Définition

Introduction

En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la matrice ou sur l'endomorphisme, comme ses valeurs propres, son déterminant et sa trace.

Motivation

Étant donné une matrice carrée M d'ordre n, nous voulons trouver un polynôme dont les racines sont précisément les valeurs propres de M.

Si M est une matrice diagonale ou plus généralement une matrice triangulaire, alors les valeurs propres de M sont les coefficients diagonaux λ₁, …, λ_n de M et nous pouvons définir le polynôme caractéristique comme étant

Nous remarquons que ce polynôme est le déterminant det(XI_n − M) où I_n est la matrice unité.

Pour une matrice quelconque M, si λ est une valeur propre de M, alors il existe une colonne propre V non nulle tel que MV = λV, soit (λI_n-M)V = 0 (où I_n est la matrice unité.) Puisque V est non nulle, cela implique que la matrice λI_n-M est singulière, et donc a son déterminant nul. Nous venons de démontrer que les valeurs propres de M sont des zéros de la fonction λ ↦ det(λ·I_n − M) ou des racines du polynôme det(XI_n − M).

Coefficients

Le développement du polynôme caractéristique p_M(X) d'une matrice carrée M d'ordre n est donné par

où f_i(M) est une fonction polynomiale en les coefficients de la matrice M. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique. Autrement dit, pour toute matrice inversible P, f_i(PMP ^{− 1}) = f_i(M). Un développement explicite du déterminant de X-M donne :

.

En particulier, le coefficient constant p_M(0) est égal à (-1)ⁿ fois le déterminant de M, et le coefficient de X^n-1 est égal à l'opposé de la trace de M.

La propriété la plus importante des polynômes caractéristiques est que les valeurs propres de M sont exactement les racines du polynôme p_M(X). En notant les racines de P prises avec multiplicité,

où s_k désigne le k-ième polynôme symétrique élémentaire. (Ici, les racines sont prises dans une extension finie L de K lorsque K n'est pas algébriquement clos ; ainsi, M est triangularisable sur L. C'est ce qui permet, pour démontrer la formule ci-dessus, de se ramener au cas décrit dans le paragraphe Motivation.)

Lorsque le corps de base K est de caractéristique nulle (par exemple, K=R ou C), grâce aux identités de Newton, les coefficients f_k (M) s'expriment comme des fonctions polynomiales en les

.

Toute fonction polynomiale en les coefficients de la matrice M et invariante par similitude est une fonction polynomiale en les coefficients du polynôme caractéristique. Cette propriété est par exemple utilisée dans la définition et la classification des classes caractéristiques en géométrie différentielle, ce qui dépasse de loin le niveau de cet article.

Définition formelle

Soit M une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif. Le polynôme caractéristique de M, noté p_M(X), est le polynôme défini par

où det est le déterminant des matrices, I_n désigne la matrice identité d'ordre n, a_{i j} = -m_{i j} quand i≠j et a_{i i} = X - m_{i i}.

La matrice XI-M a des polynômes pour coefficients ; si ce degré d'abstraction déplaît au lecteur, la somme de droite suffit pour la définition.

Remarque

Au lieu de l'expression (2), certains auteurs définissent le polynôme caractéristique comme étant det(M − XI_n). Ceci induit un changement de signe lorsque l'ordre n est impair, puisque l'on a : . Nous avons retenu la définition (2), qui présente l'avantage de rendre le polynôme caractéristique unitaire. De cette façon, lorsque le polynôme caractéristique se laisse effectivement décomposer en facteurs du premier degré, ses expressions (1) et (2) coïncident.