Classe (mathématiques) - Définition

Théories des classes

Au début des années 1920, John von Neumann propose une théorie des ensembles, avec deux types d’objets fondamentaux — les ensembles et les classes —, qui est dérivée de la théorie ZFC — théorie de Zermelo–Fraenkel avec axiome du choix. Cette théorie a été ensuite revue et simplifiée par Paul Bernays, puis Kurt Gödel au cours des années 1930. Elle est connue sous le nom de « théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel », abrégée en NBG. Gödel en présente une version où les objets primitifs de la théorie sont les classes, et où les ensembles sont les classes qui appartiennent à au moins une classe. Il s'agit, comme ZFC, d’une théorie du premier ordre, mais une partie des axiomes de NBG exprime que les classes permettent, d’une certaine façon, de représenter certains prédicats de la théorie, essentiellement ceux que l’on peut énoncer dans le langage de la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel. Dans NBG, même si les classes sont des objets de la théorie, le maniement des classes souffre finalement des mêmes restrictions que celles présentées au début de l'article.

Alors que la théorie NBG est une extension conservative de ZFC — elle prouve les mêmes énoncés de la théorie des ensembles —, la théorie des ensembles de Morse-Kelley est une théorie des classes strictement plus forte que NBG. Cette dernière est toujours une théorie du premier ordre, mais que l’on peut voir comme une extension de la théorie ZFC au second ordre — quantifications sur les variables de prédicat.

La théorie NBG peut être vue comme une autre présentation de la théorie ZFC, et peut sembler plus commode pour manier la notion de classe, en l’introduisant d’une façon peut–être plus usuelle en mathématiques. Elle est souvent invoquée pour certains développements de la théorie des catégories.

Cependant, le fait d’étendre le langage de base — en introduisant des variables de classes — a des conséquences dès qu’il s’agit de raisonner sur les théories elles–mêmes, en particulier pour les preuves d’indépendance, le quotidien des théoriciens des ensembles. Ceux-ci préfèrent donc conserver le langage usuel de la théorie de Zermelo-Fraenkel pour la simplicité de son maniement. Ceci n’empêche pas de parler de classe, comme cela a été montré dans la première partie de l’article.

Origine

On peut faire remonter la notion de classe (au sens de cet article) à Georg Cantor, l'inventeur de la théorie des ensembles. On en trouve une description assez claire dans une lettre à Richard Dedekind de 1899, mais les concepts apparaissent auparavant dans sa correspondance (avec des noms parfois différents). Dans une théorie des ensembles qui n'est pas encore formalisée, Cantor appelle multiplicités définies [(de)bestimmte Vielheit] ce que nous appelerions aujourd'hui classe, même si Cantor ne définit pas de façon précise le langage dans lequel sont définies ces multiplicités. Il distingue parmi celles-ci les multiplicités consistantes ou ensembles [(de)Menge], des multiplicités inconsistantes [(de)inconsistente Vielheit] ou absolument infinies [(de)absolut unendliche Vielheit] que nous appelons aujourd'hui classes propres. Dans sa lettre de 1899 il prend comme exemple la classe de tous les ordinaux et celle de tous les cardinaux. Cantor ne donne pas de définition très précise de ce qu'est un ensemble : ce sont des multiplicités dont « la totalité des éléments [...] peut être pensée sans contradiction comme étant réunies [...] en "une seule chose" ». Ainsi les ordinaux ne sont bien sûr pas encore ceux de von Neumann, ils sont définis de façon plus intuitive comme des types de bons ordres, mais pour Cantor ce sont forcément des ensembles. Les cardinaux sont définis à partir des ordinaux comme aujourd'hui. Cantor énonce (traduit en langage moderne) que deux classes équipotentes sont soit toutes les deux des ensembles, soit toutes les deux des classes propres, ce qui est vu aujourd'hui comme une conséquence (très directe) du schéma d'axiomes de remplacement.