Georg Cantor - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

Georg Cantor
Georg Cantor
Naissance 3 mars 1845
Saint-Pétersbourg (Russie)
Décès 6 janvier 1918
Halle (Allemagne)
Nationalité Drapeau: Empire allemand Empire allemand
Champs mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...)
Institution université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la...) de Halle
Diplômé École polytechnique fédérale de Zurich, université de Berlin
Célèbre pour théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le...)

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg – 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand, connu pour être le créateur de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des ensembles. Il établit l'importance de la bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y...) entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés. Il prouva également que les nombres réels sont « plus nombreux » que les entiers naturels. En fait, le théorème de Cantor (Le théorème de Cantor est un théorème mathématique, dans le domaine de la théorie des...) implique l'existence d'une « infinité d'infinis ». Il définit les nombres cardinaux, les nombres ordinaux et leur arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...). Le travail de Cantor est d'un grand intérêt philosophique (ce dont il était parfaitement conscient) et a donné lieu à maintes interprétations et à maints débats.

Cantor a été confronté à la résistance de la part des mathématiciens de son époque, en particulier Kronecker. Poincaré, bien qu'il connût et appréciât les travaux de Cantor, avait de profondes réserves sur son maniement de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...) en tant que totalité achevée. Les accès de dépressions récurrents du mathématicien, de 1884 à la fin de sa vie (La vie est le nom donné :), ont été parfois attribués à l'attitude hostile de certains de ses contemporains, mais ces accès peuvent à présent être interprétés comme des manifestations d'un probable trouble bipolaire (Le trouble bipolaire est une catégorie des troubles de l'humeur, anciennement nommé PMD...).

Au XXIe siècle, la valeur des travaux de Cantor n'est pas discutée par la majorité des mathématiciens qui y voient un changement de paradigme, à l'exception d'une partie du courant constructiviste qui s'inscrit à la suite de Kronecker. Dans le but de contrer les détracteurs de Cantor, David Hilbert (David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg en Prusse-Orientale –...) a affirmé : « Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé ».

Biographie

Enfance et études

Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg –...) est né le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg. Son père est Georg Waldemar Cantor, un homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo...) d'affaires danois et courtier à la bourse de St Pétersbourg ; c'est un luthérien fervent. Sa mère Maria Anna Böhm, de nationalité autrichienne, est issue d'une famille de musiciens. Catholique de naissance, elle se convertit au protestantisme au moment de son mariage.

Georg Cantor, fut élevé dans la foi luthérienne, foi qu'il conserva toute sa vie. Violoniste remarquable, il avait hérité du talent artistique et musical de sa famille maternelle.

Lorsque le père de Cantor tomba malade, la famille chercha des hivers moins glaciaux qu'à Saint Pétersbourg. Elle alla s'installer en Allemagne en 1856, d'abord à Wiesbaden, ensuite à Francfort. En 1860, Cantor obtint un diplôme (Le diplôme (grec ancien :δίπλωµα, diploma...) avec félicitations à la Realschule de Darmstadt, où l'on remarqua ses performances exceptionnelles en mathématiques, notamment en trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...). En 1862, suivant le souhait de son père, Cantor intégra l'École polytechnique fédérale de Zurich et entama des études supérieures en mathématiques.

En 1863, à la mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si...) de son père, Cantor préféra poursuivre ses études à l'université de Berlin. Il suivit les cours de Weierstrass, Kummer et Kronecker. Il se lia d'amitié avec Hermann Schwarz, alors étudiant. Il passa l'été à l'université de Göttingen (L’université de Göttingen (la graphie en français Gottingue est possible,...), qui devint par la suite un grand centre de la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...). En 1867, Berlin lui accorda le titre de Philosophiæ doctor pour une thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est...) portant sur la Théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe...), De aequationibus secundi gradus indeterminatis.

Début de carrière

Après avoir enseigné pendant un an dans une école de filles à Berlin, Cantor accepta en 1870 un poste à l'université de Halle, où il fit toute sa carrière. Il obtint l'habilitation (L'habilitation est la plus haute qualification universitaire qu'une personne puisse recevoir dans...) requise grâce à sa thèse, puis fut promu chargé de cours en 1872.

En 1872, Cantor fit la connaissance de Richard Dedekind lors d'un voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel...) en Suisse. Cela devait être le point (Graphie) de départ d'une relation suivie qui devait jouer un rôle décisif dans le développement de la théorie des ensembles de Cantor. Leur correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...), qui s'étale de 1872 à 1889, en est un témoignage précieux.

Heine avait posé la question de l'unicité de l'écriture d'une fonction périodique d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) réelle comme série de fonctions trigonométriques. Intéressé par ce problème, Cantor obtint l'unicité pour les fonctions continues. En 1872, il s'attacha à définir l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des points de discontinuité de ces fonctions, ce qui présuppose de manipuler des ensembles infinis. C'est ainsi qu'il commença à s'interroger sur l'infini. En 1874, Cantor publia ses premiers travaux sur le sujet dans le journal de Crelle, où il donna la première démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable.

Toujours en 1874, Cantor épousa Vally Guttmann. Ils auront six enfants, le dernier étant né en 1886. Malgré un modeste salaire académique, Cantor était en mesure de subvenir aux besoins de sa famille grâce à l'héritage de son père.

Hostilités entre Cantor et Kronecker

En 1877, Cantor soumit son dernier article au Journal de Crelle, dans lequel il démontra qu'une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) est en bijection avec une droite réelle. Kronecker, mathématicien réputé, fut en désaccord avec ce qui fondait les travaux de Cantor en théorie des ensembles. Kronecker, perçu aujourd'hui comme un pionnier du constructivisme, ne pensait pas que l'on puisse envisager un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un...) comme une entité : « Dieu a créé les nombres entiers ; le reste est l'œuvre de l'homme ». Kronecker pensait également qu'une preuve d'existence d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) mathématique satisfaisant à certaines propriétés devait donner une construction explicite d'un tel objet.

En 1879, Cantor obtint une chaire à l'université de Halle. Atteindre le plus haut rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...) à l'âge de 34 ans était une performance notable, mais Cantor aurait préféré avoir une chaire dans une université plus prestigieuse, en particulier à Berlin où se trouvait la meilleure université allemande. Toutefois, Kronecker se trouvait à la tête du secteur de mathématiques à Berlin jusqu'à sa mort en 1891 et il ne souhaitait pas avoir Cantor comme collègue.

En 1881, la mort d'Édouard Heine, collègue de Cantor de l'université de Halle, laissa une chaire inoccupée. À la suggestion de Cantor, l'université proposa la chaire à Dedekind, Heinrich Weber et Franz Mertens (dans cet ordre), mais tous déclinèrent l'offre. Le manque d'intérêt de la part de Dedekind est surprenant, étant donné qu'il enseignait dans une école d'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature...) de faible niveau et portait une lourde charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement...) administrative. Cet épisode est révélateur du manque de réputation du département de mathématiques de l'université de Halle. Albert Wangerin fut finalement nommé, mais ne se rapprocha jamais de Cantor.

Dépression

En 1884, Cantor fut frappé de son premier accès de dépression. Selon Eric Temple Bell (Bell Aircraft Corporation est un constructeur aéronautique américain fondé le 10 juillet 1935....), sa crise proviendrait d'un sentiment d'insécurité provenant d'un conflit freudien avec son père. Selon Joseph Dauben, il est plus probable que cette crise soit causée par les attaques de Kronecker.

Cette crise émotionnelle le mena à donner des cours de philosophie, plutôt que de mathématiques. Chacune des 52 lettres que Cantor a écrites à Mittag-Leffler au cours de cette année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié...) attaquait Kronecker. Cantor se remit rapidement, mais un passage de l'une de ses lettres révèle une perte de confiance en lui-même :

« ...Je ne sais pas quand je pourrai retourner à la poursuite de mes travaux scientifiques. Pour le moment, je ne peux absolument rien faire dans ce sens et je me limite au strict nécessaire, à savoir donner des cours ; combien je voudrais être actif scientifiquement et si seulement j'avais la vivacité d'esprit nécessaire. »

Bien qu'il ait produit quelques travaux de valeur après 1884, il ne retrouva pas le haut niveau de production des années 1874 à 1884. Il proposa une réconciliation avec Kronecker, qui accepta sans réticences. Malgré tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...), le désaccord philosophique et les difficultés qui les séparaient persistèrent. On a dit parfois que les accès dépressifs récurrents de Cantor avaient été déclenchés par l'opposition que lui manifestait Kronecker, or quoique les difficultés relationnelles de Cantor et les troubles de sa production mathématique fussent, c'est certain, exacerbés par sa dépression, on peut douter qu'elles en fussent la cause.

En 1888, il publia ses correspondances avec plusieurs philosophes au sujet des implications philosophiques de sa théorie des ensembles. Edmund Husserl fut un de ses collègues à Halle et un ami, entre 1886 et 1901. La réputation de Husserl s'est faite en philosophie, mais à l'époque il préparait un doctorat (Le doctorat (du latin doctorem, de doctum, supin de docere, enseigner) est généralement...) de mathématiques dirigé par Leo Königsberger, un étudiant de Weierstrass. Cantor écrivit aussi sur les implications théologiques de ses travaux en mathématiques ; il aurait identifié l'« infini absolu », l'infini d'une classe propre comme celle de tous les cardinaux ou de tous les ordinaux, à Dieu.

Pensant que Francis Bacon était en fait l'auteur de pièces attribuées à Shakespeare, il entama, pendant sa période de maladie (La maladie est une altération des fonctions ou de la santé d'un organisme vivant, animal...), en 1884, une étude approfondie de la littérature élisabéthaine, dans le but d'étayer cette hypothèse. Cela le conduisit à publier deux articles, en 1896 et 1897, qui exposaient ses vues.

En 1890, Cantor participa à la fondation de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung. Il en organisa la première réunion à Halle en 1891 et en fut élu président. Cela montre clairement que l'attitude de Kronecker n'a pas été fatale à sa réputation. Malgré l'animosité qu'il éprouvait pour Kronecker, Cantor l'invita à prendre la parole (La parole, c'est du langage incarné. Autrement dit c'est l'acte d'un sujet. Si le langage renvoie...) lors de cette réunion ; Kronecker ne put le faire, car son épouse était à ce moment-là à l'article de la mort.

Après le décès de son plus jeune fils, en 1899, Cantor souffrit d'une dépression chronique, qui l'affecta jusqu'à la fin de sa vie et pour laquelle il fut dispensé d'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une...) à plusieurs reprises et enfermé de manière répétitive en sanatorium. Cependant, il n'abandonna pas complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) les mathématiques, car il donna des conférences sur les paradoxes de la Théorie des ensembles (attribués à Burali-Forti, Russell, et Cantor lui-même) lors d'une réunion de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung, en 1903 et il assista au Congrès international des Mathématiciens de Heidelberg (Heidelberg est une ville d'Allemagne située dans la vallée du Neckar, au nord-ouest du...) en 1904.

En 1903, il fut lauréat de la médaille Sylvester de la Royal Society.

Cantor prit sa retraite en 1913 ; il fut confronté à la pauvreté et souffrit même de la faim (La faim désigne la sensation, apparaissant après un certain temps sans manger, qui pousse...) au cours de la Première Guerre mondiale. La célébration publique de ses 70 ans fut annulée à cause de la guerre et quelques mois (Le mois (Du lat. mensis «mois», et anciennement au plur. «menstrues») est une période de temps...) avant la fin de celle-ci, il mourut en janvier 1918 à l'hôpital (Un hôpital est un lieu destiné à prendre en charge des personnes atteintes de...) où il avait passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble...) la dernière année de sa vie.

Page générée en 0.236 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique