Kurt Gödel - Définition

Introduction

Kurt Gödel (28 avril 1906 - 14 janvier 1978) est un mathématicien et logicien austro-américain.

Son résultat le plus connu, le théorème d'incomplétude de Gödel, affirme que n'importe quel système logique suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique des entiers admet des propositions sur les nombres entiers ne pouvant être ni infirmées ni confirmées à partir des axiomes de la théorie. Gödel a également démontré la complétude du calcul des prédicats du premier ordre. Il a aussi démontré la cohérence relative de l'hypothèse du continu, montrant qu'elle ne peut pas être réfutée à partir des axiomes admis de la théorie des ensembles, en admettant que ces axiomes soient cohérents. Il est aussi à l'origine de la théorie des fonctions récursives.

Le plus souvent considéré comme Autrichien, il est né à Brno en Autriche-Hongrie, naturalisé Tchécoslovaque à 12 ans, puis Autrichien à 23 ans. Lorsque Hitler ordonne l'annexion de l'Autriche, Gödel devient Allemand (il a alors 32 ans). Il part aux États-Unis pendant la Seconde Guerre mondiale, et il obtient la double nationalité austro-américaine à 42 ans.

Il a publié ses résultats les plus importants en 1931 à l'âge de 25 ans, alors qu'il travaillait encore pour l'Université de Vienne (Autriche).

Biographie

Enfance

Fils de Rudolf Gödel, dirigeant d'une petite entreprise textile, et de Marianne Gödel (née Handschuh). Au sein de cette famille germanophone, le petit Kurt est surnommé « Der Herr Warum » (M. Pourquoi). Il fréquente l'école primaire puis secondaire à Brno, qu'il termine avec les honneurs en 1923. Bien que Kurt ait d'abord excellé en langues, il devient peu de temps plus tard un fervent amateur d'histoire et de mathématiques. Cette passion pour les mathématiques prit une nouvelle ampleur en 1920 lorsque son frère aîné Rudolf (né en 1902) partit pour Vienne suivre un cursus médical. Adolescent, Kurt étudie déjà les travaux de Gabelsberger, la théorie de Goethe sur Isaac Newton, et les écrits de Kant.

C'est encore à l'Université de Vienne qu'il rencontre celle qui deviendra (tardivement) sa femme, Adele Nimbursky (née Porkert). Il publie ses premiers articles sur la logique et assiste à une conférence de David Hilbert à Bologne sur la complétude et la cohérence des systèmes mathématiques. En 1929, Gödel devient citoyen autrichien avant d'obtenir cette même année son doctorat, sous l'égide de Hans Hahn. Dans sa thèse, il établit la complétude du calcul des prédicats du premier ordre, résultat connu sous le nom de théorème de complétude de Gödel.

Études viennoises

À l'âge de 18 ans, Kurt rejoint son frère Rudolf à l'Université de Vienne. Il a à ce moment déjà acquis un niveau universitaire en mathématiques et en philosophie. Bien qu'initialement inscrit pour étudier la physique théorique, il suit aussi un enseignement en mathématiques et en philosophie. C'est à cette époque qu'il adhère au réalisme mathématique. Il lit Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft de Kant, et rejoint le Cercle de Vienne où officient Moritz Schlick, Hans Hahn, et Rudolf Carnap. Kurt étudie par la suite la théorie des nombres, mais se tourne vite vers la logique mathématique après un séminaire donné par Moritz Schlick sur l'introduction à la philosophie des mathématiques, de Bertrand Russell.

Travaux à Vienne

Gödel obtient son doctorat en philosophie en 1930. Il prouve en 1930 la complétude de la logique classique du premier ordre, c'est-à-dire que toute formule valide est démontrable, résultat qui fut publié par l'Académie des Sciences de Vienne. En 1931, il publie son célèbre théorème d'incomplétude dans Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Il prouve dans cet article que pour tout système axiomatique assez puissant pour décrire les nombres naturels, on peut affirmer que :

1. Il ne peut être à la fois cohérent et complet (ce qui est le théorème connu sous le nom de Théorème d'incomplétude.)

2. Si le système est cohérent, alors la cohérence des axiomes ne peut pas être prouvée au sein même du système.

Ces théorèmes mirent fin à des siècles de tentatives de proposer un jeu d'axiomes définitif pour situer l'ensemble des mathématiques sur une base axiomatique, à la manière des Principia Mathematica et du formalisme de Hilbert. Ils impliquent aussi qu'il y a des questions mathématiques qui sont valides, mais qui ne sont pas démontrables.

Le principe du théorème d'incomplétude est simple. Gödel a essentiellement bâti une formule qui énonce qu'elle n'est pas démontrable dans un système formel donné. Si cette formule est démontrable, alors elle n'est pas démontrable, d'où la contradiction. Donc cette formule n'est pas démontrable, donc valide. Il existe donc une formule valide, non démontrable.

Pour préciser ces faits, Gödel a eu besoin de résoudre de nombreux problèmes techniques, comme le codage des démonstrations et le concept même de démontrabilité au sein des nombres entiers. Il a, aussi eu besoin d'un procédé pour décrire une formule qui énonce sa propre non démontrabilité : le procédé diagonal. Ces détails sur la forme expliquent pourquoi sa publication de 1931 est aussi longue et ardue à lire et pourquoi ses contemporains à l'exception notable de John von Neumann et Alfred Tarski n'ont pas compris son résultat.

Gödel obtint son diplôme à l'Université de Vienne en 1932, et y devint Privatdozenten (conférencier) en 1933.

Cependant, après l'assassinat le 22 juin 1936 de Moritz Schlick (dont le séminaire avait fait naître son intérêt pour la logique) par Hans Nelböck, un jeune étudiant aliéné, Gödel fut particulièrement affecté et traversa sa première dépression.

Voyages aux États-Unis

Cette année 1933 fut aussi pour Gödel le premier départ aux États-Unis, où l'Institute for Advanced Study de Princeton lui proposait un poste de « membre temporaire » pour une année. Il rencontra Albert Einstein, avec qui il lia une solide amitié. Plus tard, il mit au point l'idée de la calculabilité, étudia les fonctions récursives, si bien qu'il donna une conférence sur les fonctions récursives générales et le concept de vérité. Ces travaux furent développés en utilisant la construction des nombres de Gödel.

En 1934, il retourna à l'Institute for Advanced Study de Princeton et y fit une série de conférences intitulée « De l'indécidabilité des postulats des systèmes mathématiques formels ». Stephen Kleene et J. Barkley Rosser prirent en notes ces conférences, publiées dans les œuvres complètes de Gödel.

Gödel retourna à Princeton plus tard la même année. Les voyages et ses travaux l'avaient épuisé, si bien que l'essentiel de l'année suivante dut être consacré au traitement d'une nouvelle dépression. Il revint à l'enseignement en 1937, période durant laquelle il travailla sur la preuve de cohérence relative et celle d'indépendance de l'hypothèse du continu. Il échoua sur l'indépendance (qui ne sera démontrée par Paul Cohen qu'en 1963), mais il réussit à établir que cette hypothèse ne peut pas être réfutée à partir des axiomes de la théorie des ensembles. Il épousa Adele le 20 septembre 1939 à l'Université de Notre-Dame.

Travaux à Princeton

Après l'Anschluss de 1938, l'Autriche tomba dans le giron de l'Allemagne nazie. Cette dernière ayant aboli le titre de Privatdozent, Gödel eut à se soucier d'une incorporation dans l'armée allemande. Ses liens avec des professeurs juifs, comme son tuteur de thèse Hans Hahn, lui causèrent des problèmes; il fut même agressé, fin 1939, par un petit groupe de nazis. Sa femme et lui partirent donc se réfugier aux États-Unis en janvier 1940. Il arrivèrent à San Francisco le 4 mars 1940, après avoir voyagé par le Transsibérien et traversé l'océan pacifique, le plus discrètement possible de peur des arrestations. Après leur arrivée, Kurt et Adele s'installèrent à Princeton, où il réintégra l'institut des hautes études de Princeton. À l'institut, Gödel se tourna plus encore vers la philosophie et la physique. Il étudia les travaux de Gottfried Leibniz et, à un moindre degré, ceux de Kant et Edmund Husserl.

Il poursuivit ses travaux de logicien, et publia en 1940 The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Il introduit dans ce travail la notion d'univers constructible, modèle de la théorie des ensembles dans lequel les seuls ensembles existants sont ceux qui peuvent être construits à partir d'ensembles plus élémentaires. Gödel prouva qu'aussi bien les axiomes de choix et l'hypothèse généralisée du continu sont vraies dans un univers constructible, et doivent donc être cohérentes. Il eut l'intuition des problèmes NP-complets.

À la fin des années 1940, il démontra l'existence d'une solution paradoxale aux équations de la théorie de la relativité générale d'Einstein. Les « univers tournants » auraient rendu possible le voyage dans le temps, et poussèrent Einstein à douter de sa propre théorie (voir univers de Gödel). Aujourd'hui, ce type de solution est considéré comme une curiosité mathématique sans grand intérêt physique, mais dont le grand mérite est d'avoir stimulé la recherche d'autres solutions exactes aux équations d'Einstein.

Devenu membre permanent de l'Institut des études avancées en 1946, il fut naturalisé citoyen américain en 1948. Il obtint un poste de professeur à l'Institut en 1953, refusa le titre de Professeur honoraire en 1975 et fut émérité en 1976.

En mars 1951, Gödel reçut (en même temps que le physicien Julian Schwinger) le premier prix Einstein, puis fut nommé docteur honoris causa dans plusieurs universités (Yale, Harvard, etc), et reçut la « National Medal of Science », en 1974.

Réflexions diverses

Âgé de 70 ans, Gödel, qui était profondément croyant, fit circuler parmi ses amis une élaboration basée sur la preuve ontologique de l'existence de Dieu, inspirée de l'argument d'Anselme de Cantorbéry et de considérations de Leibniz. Cette élaboration est maintenant connue sous le nom de preuve ontologique de Gödel.

Gödel, en plus de sa croyance divine, s'interrogeait sur l'existence des anges et démons dans un univers mathématique, un univers idéel, par opposition à l'univers réel perceptible, dans lequel vivraient les 'anges' et 'démons', comme nous vivons dans l'univers réel. Ceci était une conséquence de ses réflexions sur l'intuition et l'incomplétude, puisque l'intuition a parfois produit des thèses mathématiques ne pouvant être prouvées ou infirmées mathématiquement. Il considérait que soit le cerveau est une machine de turing, et il existe donc des problèmes indécidables pour l'humain, ce qui signifie que « les propriétés mathématiques qui nous échappent ont une existence autonome », soit le cerveau surpasse les machines de Turing, et donc l'esprit humain est « une réalité indépendante du monde sensible ». La difficulté de cette vision est la communication du cerveau, matériel et fini, avec cet univers idéel: il envisage l'existence d'un 'organe de l'intuition', ayant accès à cet univers idéel, malgré les difficultés de cette spéculation.

Une conséquence de sa vision d'un monde réel limité voulu par Dieu, est que la recherche, la métaphysique, la philosophie, etc, sont en contradiction avec cette volonté de limitation de la compréhension du monde. Ce point alimente sa paranoïa, et il va même jusqu'à estimer les grands penseurs en danger. Gödel préfère rester discret sur cette vision des choses, qui n'est décrite que dans ses notes personnelles :« je ne rends publiques que les parties de ma philosophie qui se prêtent le moins à la controverse », à cause de l'esprit du temps, à la fois réception de ses confrères et ordre du monde.

Décès et distinctions

Pierre tombale de Kurt Gödel.

Gödel fut, tout au long de sa vie, un homme en retrait, avec une tendance certaine à l'hypocondrie. Approchant la mort, il se sentit de plus en plus concerné par sa santé, se convainquant de l'existence d'un complot visant à l'empoisonner. Il cessa alors de s'alimenter, tombant progressivement dans la cachexie. Il mourut le 14 janvier 1978, à Princeton, État du New Jersey, États-Unis; il pesait alors environ 30 kilos.

La société Kurt Gödel, fondée en 1987, fut baptisée en son honneur. C'est une organisation internationale pour la promotion de la recherche dans les champs de la logique, la philosophie, et l'histoire des mathématiques.

Un Prix Gödel qui récompense les meilleurs travaux en informatique théorique fut fondé en son honneur en 1992.