Théorie des ensembles - Définition et Explications

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Introduction

La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.

La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le...) est considérée comme une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.

En plus de proposer un fondement aux mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), Cantor introduisait avec la théorie des ensembles des concepts radicalement nouveaux, et notamment l'idée qu'il existe plusieurs types d'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...) que l'on peut mesurer et comparer au moyen de nouveaux nombres (ordinaux et cardinaux).

À cause de sa modernité, la théorie des ensembles fut âprement controversée, notamment parcequ'elle postulait l'existence d'ensembles infinis, en contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) avec certains principes des mathématiques constructives ou intuitionnistes.

Au début du XXème siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) plusieurs facteurs ont poussé les mathématiciens à développer une axiomatique pour la théorie des ensembles : la découverte de paradoxes tels que le paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un...) de Russell, mais surtout le questionnement autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) de l'hypothèse du continu qui nécessitait une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) précise de la notion d'ensemble. Cette approche formelle conduisit à plusieurs systèmes axiomatiques, le plus connu étant les , mais également la théorie des classes de von Neumann ou la théorie des types (La théorie des types est une branche de la logique mathématique : elle fonde la construction...) de Russell.

Les origines de la théorie des ensembles

Génèse

Cantor est le principal créateur de la théorie des ensembles qu'il a introduite au début des années 1880. C'est en travaillant sur des problèmes de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) des séries trigonométriques, dans les années 1870, qu'il a été amené à définir une notion de dérivation des ensembles de nombres réels : étant donné un ensemble X de réels, son dérivé X' est X duquel on a supprimé tous les points isolés. Par exemple si on prend l'ensemble X = \{1/n, n\in\mathbb{N}^*\}\cup\{0\} alors chaque nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) 1 / n est isolé dans X si bien que X' est simplement {0}. Ce dernier ensemble peut à son tour se dériver et son dérivé est l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.).

Si maintenant on prend Y = \{1/n + 1/p, n<p\in\mathbb{N}^*\}\cup\{1/n,n\in\mathbb{N}^*\}\cup\{0\} alors chaque 1 / n + 1 / p est isolé dans Y si bien que le dérivé Y' est X. On voit donc que l'ensemble Y peut se dériver trois fois.

En itérant ce procédé on peut ainsi construire un ensemble X de réels qui se dérive une infinité de fois au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) suivant : si on note X(n) le n-ième dérivé de X alors les X(n) forment une suite décroissante (pour l'inclusion) d'ensembles ; le dérivé infini de X est l'intersection de tous les X(n) que l'on note X^{(\infty)}. Mais cela ne s'arrête pas là : Cantor a découvert l'existence d'ensembles de réels tels que X^{(\infty)} contient des points isolés, donc est encore dérivable. Il y a ainsi des ensembles que l'on peut dériver une infinité + 1 fois, une infinité + 2 fois, ..., 2 infinités de fois, etc. Il semblait donc exister une arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) de l'infini et c'est en explicitant celle-ci que Cantor a développé la théorie des ensembles.

L'idée fondamentale a été de définir l'équipotence : deux ensembles A et B sont équipotents, ou ont même cardinalité (même nombre d'éléments quand ils sont finis), s'il existe un moyen d'associer à chaque élément de A un et un seul élément de B et inversement. On peut ainsi démontrer que l'ensemble \mathbb{N}\, des entiers naturels a la même cardinalité que l'ensemble \mathbb{Q}\, des nombres rationnels, bien que \mathbb{N}\, soit un sous-ensemble propre (En mathématiques, en théorie des ensembles, on appelle sous-ensemble propre d'un ensemble E tout...) de \mathbb{Q}\,. Ces deux ensembles sont dits infinis dénombrables. D'un autre côté, l'ensemble \mathbb{R}\, des nombres réels n'a pas la même cardinalité que \mathbb{N}\, ou \mathbb{Q}\,, mais une cardinalité supérieure que l'on appelle la puissance du continu. Cantor a donné deux preuves que \mathbb{R}\, n'est pas dénombrable, et la deuxième, qui utilise un argument connu sous le nom d'argument de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) de Cantor, a été extraordinairement influente et a eu de nombreuses et diverses applications en logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος),...) et en mathématiques.

Cantor a approfondi la théorie et a construit des hiérarchies infinies d'ensembles infinis, les nombres ordinaux et les nombres cardinaux. Ces constructions étaient controversées à son époque, l'opposition étant conduite par le finitiste Léopold Kronecker ; mais aujourd'hui elles sont acceptées par la majorité des mathématiciens.

Et développement

La notion de cardinal d'un ensemble a conduit Cantor a poser une question qui devait devenir fondatrice : existe-il des ensembles de réels qui sont non dénombrables (ils ont strictement plus d'éléments que \mathbb{N}) mais n'ont pas non plus la puissance du continu (ils ont strictement moins d'éléments que \mathbb{R}) ? Cette question connue sous le nom de l'hypothèse du continu n'a pas obtenu de réponse du vivant de Cantor (il a fallu attendre Gödel en 1938 pour avoir une première demi-réponse) mais a suscité de nombreux travaux et notamment le développement de la théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de...).

La théorie de Cantor est considérée comme « naïve » parcequ'elle n'emploie pas encore une axiomatique précise, et parce que pour lui il n'y avait qu'une seule théorie des ensembles, un seul univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) ensembliste attendu, alors que les théoriciens des ensembles d'aujourd'hui jonglent avec des univers différents.

Après coup, on a pu simplifier, assez injustement pour Cantor, en résumant sa théorie à un usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) tacite de l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) d'extensionnalité, et d'une version trop forte du schéma d'axiomes de compréhension, qui en substance permettrait d'associer à toute propriété l'ensemble des objets vérifiant cette propriété. Une telle théorie, que l'on n'attribuera pas à Cantor, est contradictoire. Elle mène à deux familles de paradoxes. Les uns, comme le paradoxe de Berry ou le paradoxe de Richard, se rattachent au fait que le langage n'est pas bien défini, les autres, comme le paradoxe de Russell à un usage trop large de la compréhension : quand on essaie de construire l'ensemble S = {A | A∉A} de tous les ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes on tombe sur une contradiction. L'actuel schéma d'axiomes de compréhension, proposé par Zermelo, est restreint afin d'éviter ce paradoxe.

Cantor connaissait, avant la découverte du paradoxe de Russell, des paradoxes plus complexes, mais de même nature, comme le paradoxe de Burali-Forti (En mathématiques le paradoxe de Burali-Forti, paru en 1897, désigne une construction qui...) ou le paradoxe du plus grand cardinal (En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un grand...). Beaucoup de théoriciens des ensembles s'entendent pour dire que l'axiomatisation la plus adéquate à la théorie développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de...) par Cantor est la théorie ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle...) avec axiome de fondation (L'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie...) (voir ci-dessous), ou la théorie des classes de von Neumann, Gödel et Bernays, qui lui est, en un certain sens (qui peut être rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie)...) précis), équivalente.

Au tournant du siècle, Cantor est de plus en plus handicapé par sa maladie (La maladie est une altération des fonctions ou de la santé d'un organisme vivant, animal...) nerveuse, mais ses solutions aux paradoxes circulent par sa correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...) et sont connues, à la fin du XIXe siècle, de Richard Dedekind et, à Göttingen, de David Hilbert (David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg en Prusse-Orientale –...) et de Ernst Zermelo. Cependant, pour beaucoup de mathématiciens de l'époque, les paradoxes jettent un doute sur la validité de la théorie des ensembles, les solutions proposées par Cantor sont trop informelles pour convaincre ceux qui les connaissent. Certains s'orientent vers la méthode axiomatique, illustrée à la même époque par Hilbert pour les fondements de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) (1899).

Ainsi, en 1908, Ernst Zermelo construit un système d'axiomes pour la théorie des ensembles. En dehors de l'axiome d'extensionnalité, on peut voir ces axiomes comme une restriction de la version contradictoire du schéma d'axiomes de compréhension aux cas particuliers utiles, qui ne permettent pas de dériver les paradoxes. Dans ce système, il inclut également l'axiome du choix (qui n'a rien à voir avec la compréhension), un axiome à l'époque très controversé, avec lequel il a montré (en 1904) le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) du bon ordre, et qui a également été utilisé implicitement par Cantor. Le système de Zermelo a été complété dans les années 1920 par Abraham Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem, qui ajouteront le schéma d'axiomes de remplacement (autre cas particulier de la compréhension non restreinte), donnant la théorie connue aujourd'hui sous le nom de ZF (sans axiome du choix) ou ZFC (avec axiome du choix). D'autres auteurs ont depuis travaillé sur le problème de l'axiomatisation de la théorie des ensembles, notamment John von Neumann (John von Neumann (né Neumann János, 1903-1957), mathématicien et physicien...) qui a défini une alternative très intéressante à ZF : la théorie des classes.

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