Les prédicats d’une théorie sont les formules qui contiennent des variables libres.
On peut aussi les considérer comme les concepts d’une théorie.
Les logiciens appellent ainsi les formules des phrases, des propositions, des énoncés, des assertions, des thèses, et dans certains cas, des affirmations, des lois, des hypothèses, des axiomes, des théorèmes, des équations, ...
Les phrases les plus simples pour le calcul des prédicats sont les formules atomiques. On les obtient en assemblant un nom de prédicat fondamental avec un ou plusieurs noms d’objet. Par exemple avec trois noms d’objet, Socrate, Pierre, Marie, et deux noms de prédicat unaire, est un homme, est une femme, on peut faire six formules atomiques : Socrate est un homme, Marie est une femme, ... “est une femme” est un prédicat unaire parce qu’il s’applique à un individu, c’est une qualité. “est amoureux de” est un prédicat binaire, parce qu’il s’applique à deux individus. C’est une relation binaire. Il y a aussi des relations ternaires. x est produit par y et z est une relation ternaire entre x, y et z.
Une règle très généralement acceptée en logique formelle consiste à toujours mettre un prédicat fondamental en premier suivi de ses arguments, c’est-à-dire les objets auxquels il est attribué. Cela donne humain Socrate pour dire que Socrate est humain et égal x y pour dire que x est égal à y. Pour une relation binaire R on préfère cependant souvent la notation xRy à Rxy.
Les équations ou les égalités sont des phrases simples construites avec un prédicat binaire, = , très particulier quant à sa signification, mais qui ne pose pas de difficultés grammaticales.
Les noms d’objet peuvent être simples ou composés. Les noms simples sont pour les logiciens et les mathématiciens des symboles. Ils sont en général représentés par une lettre, i, N, ou par un signe graphique, 0, 1, ...
Les mots composés de plusieurs lettres, Socrate, ..., peuvent être considérés comme des mots simples tant que leurs lettres ne sont pas considérées comme des mots. Cette technique est très utile pour développer un système formel dans un langage semi-naturel. Beaucoup de traités de logique sont difficiles à lire, même pour un spécialiste, parce qu’il faut se familiariser avec le formalisme parfois très particulier de leurs auteurs. Dans cette page, on n'introduira pas de symboles logiques particuliers. Toutes les notions fondamentales sont traduites par des expressions naturelles. On se limite cependant à une grammaire simplifiée, celle qui va être exposée. Il est très facile de traduire les règles ou les axiomes que nous énoncerons dans un formalisme plus rigoureusement déterminé, avec des symboles. Des liens renvoient à d’autres pages de l’encyclopédie où ce formalisme est exposé. Les deux approches sont complémentaires. Les méthodes formelles rigoureuses conviennent mieux aux théories mathématiques. Le langage semi-naturel montre plus clairement pourquoi le calcul des prédicats peut être considéré comme une grammaire universelle.
Les mots (vraiment) composés sont obtenus en assemblant plusieurs mots simples. On les appelle aussi des expressions formelles.
Les noms d’opérateurs sont les principaux outils pour former des noms composés à partir de noms simples. Les opérateurs sont aussi appelés des fonctions, au sens mathématique. Nous verrons plus loin que les opérateurs logiques servent à former des phrases composées à partir de phrases simples.
À partir du nom Pierre, on peut former beaucoup d’autres noms avec un seul opérateur, le père de : le père de Pierre, le père du père de Pierre, le père du père du père de Pierre, et ainsi de suite. “Le père de” est un opérateur unaire, ou à une place, ou d’arité 1, parce qu’il s’applique à un seul nom d’objet.
À partir de 1 et de l’opérateur binaire +, on peut former de nombreux noms : 1+1, (1+1)+1, 1+(1+1), 1+((1+1)+1), ... Le résultat d’un opérateur binaire o appliqué à deux individus x et y est noté o(x,y), oxy (dans la notation de Lukasiewicz), ou xoy.
Les noms d’opérateurs peuvent être introduits, dans un langage semi-naturel. Par exemple, “l’enfant de Pierre et Marie” peut être considéré comme obtenu par l’application de l’opérateur binaire “l’enfant de...et” aux deux êtres Pierre et Marie. Il peut être écrit e(P,M) ou ePM ou PeM.
On se sert souvent des parenthèses pour indiquer clairement la façon dont les noms composés sont construits à partir de noms simples. La notation de Lukasiewicz, permet de s’en passer, mais les formules deviennent beaucoup moins lisibles.
Tant que 1 et + ont leur signification ordinaire 1+(1+1) est égal à (1+1)+1 mais ce n’est pas vrai pour tous les opérateurs binaires : l’enfant de (l’enfant de Pierre et Marie) et Socrate n’est pas égal à l’enfant de Pierre et l’enfant de Marie et Socrate, s’il existe. De façon symbolique e(e(P,M),S) est différent de e(P,e(M,S)).
On pourrait se servir de la première notation pour l’addition et dire que +(1,+(1,1)) est égal à +(+(1,1),1). Mais justement parce que ces deux nombres sont égaux, il vaut bien mieux écrire x+y que +(x,y). Cela permet de supprimer toutes les parenthèses, 1+1+1, parce que dans ce cas il n’y a pas d’ambiguïté. Mais on ne peut pas faire la même chose avec l’opérateur “l’enfant de” parce que (PeM)eS est différent de Pe(MeS). La notation xoy permet en général d’économiser des parenthèses et elle est souvent plus lisible mais elle ne va que pour les opérateurs binaires. Pour un opérateur ternaire ou plus, il faut revenir à la première notation, o(x,y,z) , ou oxyz, ou à des formulations plus compliquées.
Les noms simples et les noms d’opérateurs suffisent pour faire tous les noms composés dont on a besoin dans les sciences.
Avec les prédicats fondamentaux, ils permettent de faire toutes les phrases simples.
Les opérateurs logiques permettent de faire des phrases complexes à partir de phrases simples.
Les opérateurs booléens sont la négation non, la conjonction et, la disjonction non-exclusive ou, l’implication implique, et quelques autres.
La négation est l’opérateur unaire “non” qui permet de faire la phrase non P à partir d’une phrase P.
Cet usage adopté par les logiciens donne “non Socrate est humain” pour signifier que Socrate n’est pas humain. Cette façon de nier est pratique quand on veut multiplier les négations à l’intérieur d’une phrase complexe. Elle ne pose pas d’autres difficultés que de choquer les habitudes.
Les autres opérateurs booléens sont binaires. La conjonction et la disjonction permettent de faire (P et Q) ainsi que (P ou Q) à partir de P et de Q.
Avec la conjonction on peut rassembler plusieurs assertions relatives à une même situation. Avec la disjonction, on peut rassembler plusieurs assertions relatives à plusieurs situations possibles. Les opérateurs booléens permettent ainsi de construire tout ce qui est dicible à partir d’un nombre fini de phrases simples.
La notion de conséquence peut être exprimée dans l’algèbre de Boole avec l’opérateur d’implication. P implique Q est souvent plutôt dit sous la forme si P alors Q .
L’algèbre de Boole est ainsi nommée parce que Boole a montré qu’on peut écrire certaines lois logiques sous la forme d’équations :
non nonP = P
non(PouQ) = nonP et nonQ
non(si P alors Q) = P et nonQ
et beaucoup d’autres.
Il y a de nombreuses façons de formuler des lois et des énoncés d’existence. La meilleure et de très loin au point de vue mathématique consiste à faire usage de noms de variable, ces x et ces y qui torturent parfois les esprits des élèves. Pour les logiciens, les mathématiciens et tous les scientifiques, les noms de variable sont pourtant des outils magnifiques. Toutes les difficultés de la syllogistique d’Aristote deviennent claires comme l’eau de roche dès qu’on a compris ce qu’on peut faire avec des noms de variable.
L’usage des noms de variable est très ancien, au moins aussi ancien que la géométrie. Aristote s’en est même servi pour énoncer les lois de la syllogistique. Mais il n’a pas compris que les règles syllogistiques elles-mêmes peuvent être déduites à partir d’un usage raisonné des noms de variable. Celui-ci a d’abord été développé par des algébristes, parce que les variables sont très utiles dans les équations. Frege et les autres inventeurs de la grande logique des classes et des relations, ceux qui ont réalisé la grande idée de Leibniz, la mathesis universalis, le calcul rationnel universel, qu’on appelle aujourd’hui le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des concepts, ont compris tout le profit que l’on pouvait tirer de l’usage des variables. L’usage des noms de variable, c’est la puissance de la généralité, c’est une des manifestations les plus claires de la grandeur de la raison.
Au point de vue de la grammaire, les variables ne posent au premier abord aucune difficulté particulière. Les noms de variable sont des mots comme les autres. Il suffit de préciser de quoi ils sont des variables, objet, classe, relation, opérateur, ... On peut utiliser dans une phrase les noms de variable comme tous les autres noms. x est humain.
Les lois et les affirmations d’existence sont faites avec deux types d’opérateurs unaires construits sur les noms de variable. (pour tout x) et (il existe un x tel que) sont deux opérateurs unaires associés au nom de variable x. Le premier est l’opérateur universel en x, ou opérateur de généralisation. Le second est l’opérateur existentiel en x, ou opérateur d’existentiation.
L’affirmation que tous les humains sont mortels est traduite dans le calcul des prédicats par, pour tout x, si x est humain alors x est mortel. C’est le résultat de l’application de l’opérateur (pour tout x) sur la phrase complexe (si x est humain alors x est mortel). L’affirmation qu’il y a au moins un être humain est traduite de même par, il existe un x tel que x est humain.
Les occurrences d’un nom de variable dans une phrase sont tous les endroits où ce nom apparait. Une occurrence peut être libre ou liée. Quand un opérateur existentiel ou universel en x est appliqué à une phrase complexe, toutes les occurrences de x deviennent liées, ou quantifiées, par cet opérateur. Toutes les occurrences qui ne sont pas ainsi liées sont libres.
Dans les théories du premier ordre, seules les variables d'objet peuvent être liées. Le domaine des objets, ou domaine d'existence, ou univers, ou ontologie, de la théorie, est aussi son domaine de quantification.
La distinction entre variable libre et variable liée est l’une des plus importantes pour la grammaire du calcul des prédicats. Elle est essentielle pour comprendre que les concepts sont des prédicats.
Les opérateurs booléens et les opérateurs universels et existentiels suffisent pour construire à partir des formules atomiques tous les énoncés dont on a besoin dans les sciences.
Les prédicats d’une théorie sont d’abord ses prédicats fondamentaux, ceux que l’on peut identifier à ses notions premières. À partir d’eux, des objets de base, des variables et des opérateurs, on peut construire de nombreux prédicats dérivés, ou définis, à l’intérieur de la théorie. Il suffit d’écrire des formules qui contiennent des variables libres. Une formule qui contient une seule variable libre nomme un prédicat unaire. C’est un concept qualitatif. Une formule qui contient deux et seulement deux variables libres nomme un prédicat binaire, ou relation binaire, ou concept relationnel binaire. Quel que soit leur nombre de variables libres, pourvu qu’il soit au moins égal à un, les formules nomment des concepts.
Le concept de nombre premier peut être défini par le prédicat suivant, à l’intérieur de la théorie des nombres, supposés ici entiers positifs.
x est un nombre et pour tous nombres y et z, si y et z ne sont pas égaux à 1 alors x n’est pas égal à y fois z.
Dans la formule ci-dessus, les variables y et z sont liées. x est la seule variable libre. Cette formule est vraie si et seulement si x est un nombre premier. On peut donc la considérer comme un nom du concept de nombre premier.
Les concepts sont ou bien des notions premières, être un nombre, être égal à, être un ensemble, être dans, ... ou bien des notions dérivées, ne pas être égal à, être un nombre premier, ... Dans tous les cas, ce sont des prédicats. Le calcul des prédicats est le calcul des concepts.
Les concepts les plus fondamentaux sont en général ou bien qualitatifs, c’est-à-dire unaires, ou bien relationnels binaires. La logique d’Aristote est presque exclusivement consacrée aux concepts qualitatifs.
Pour faire la science, il faut faire des concepts. Pour la logique du premier ordre, les matériaux de base sont les notions premières, ou prédicats fondamentaux, les objets de base, les opérateurs d’objet, les variables d’objet, et un petit nombre d’opérateurs logiques, les opérateurs booléens et les opérateurs de généralisation et d’existentiation. Les règles de construction sont simplement celles qui viennent d’être présentées. Toutes les formules grammaticalement correctes de la logique du premier ordre nomment des concepts dès qu’elles contiennent des variables libres. La logique n’impose pas d’autres limites à la pensée que celles de la correction grammaticale. En ce sens, on peut voir le calcul des prédicats comme un chemin de libération intellectuelle, parce qu’il permet de penser tout ce qu’on veut, et de le faire sans tomber dans l’absurdité.