Courbe de Bézier - Définition

Technique

Quatre points P₀, P₁, P₂ et P₃ définissent une courbe de Bézier cubique. La courbe se trace en partant du point P₀, en se dirigeant vers P₁ et en arrivant au point P₃ selon la direction P₂-P₃. En général, la courbe ne passe ni par P₁ ni par P₂ : ces points sont simplement là pour donner une information de direction. La distance entre P₀ et P₁ détermine la « longueur » du déplacement dans la direction de P₁ avant de tourner vers P₃.

La forme paramétrique de la courbe s'écrit:

pour 0 ≤ t ≤ 1. Remarquons que les coefficients binomiaux apparaissent dans l'ordre (1, 3, 3, 1). La formule est inspirée d'une loi binomiale et montre que la courbe est toujours complètement contenue dans l'enveloppe convexe des quatre points donnés. Les courbes de Bézier sont intéressantes pour le traitement des images pour deux raisons principales :

• Les points peuvent être rapidement calculés en utilisant une procédure récursive qui utilise la division par deux et les opérations de base en évitant toutes les opérations de l'arithmétique des nombres réels flottants.

ou

                             

    
    
,                 

    
    
,       

    
    
      

Plus précisément, on peut décomposer la courbe P(t) en deux courbes P_L et P_R dont les points de contrôles sont respectivement (L₁, L₂,L₃,L₄) et (R₁, R₂,R₃,R₄) avec

et

Lors de cet appel récursif pour tracer P(t), étant donné que la courbe de Bézier passe par le premier et le dernier point de contrôle, la position des extrémités de chaque morceau (L₁, L₄=R₁ et R₄) est connue. Lorsque l'on implémente un tel tracé, le critère d'arrêt de la récurrence peut être lié à la distance entre la sous-courbe à tracer et le segment [L₁,L₄] par exemple.

Note: l'arithmétique des nombres réels flottants étant disponible directement sur les processeurs modernes, elle est devenue bien plus rapide que l'allocation de mémoire nécessaire pour une récursion. De plus, une méthode qui fournit les pixels de la courbe à tracer sans aller de proche en proche ne permet pas d'antialiasing. La récursion n'est donc plus la bonne méthode pour tracer les courbes de Bézier ; on utilisera avantageusement la méthode qui parcourt les pixels de proche en proche en calculant à chaque pas un "défaut de tangente" utilisable pour l'antialiasing.

Le calcul d'un point d'une courbe de Bézier peut également s'effectuer en utilisant la méthode de Horner en calculant préalablement les coefficients vectoriels du polynôme:

Un exemple de programme en TI-Basic pour tracer des courbes de Bézier sur TI (82 a 84+):

ClrHome

ClrList L1

ClrList L2

Input "NB DE POINT N=?",N

N→dim L1

N→dim L2

N-1→N

For(K,0,N

ClrHome

Disp "POINT PI (XI,YI)

Output(1,8,K

Output(1,12,K

Output(1,15,K

Prompt X

X→L1(K+1

Prompt Y

Y→L2(K+1

End

min(L1→Xmin

max(L1→Xmax

(Xmax-Xmin)/8→Xscl

min(L2→Ymin

max(L2→Ymax

(Ymax-Ymin)/8→Yscl

"sum (seq(((N nCr I)*T^I*(1-T)^(N-I))*L1(I+1),I,0,N,1))"→X1T

"sum (seq(((N nCr I)*T^I*(1-T)^(N-I))*L2(I+1),I,0,N,1))"→Y1T

0→Tmin

1→Tmax

(25N)^-1→Tstep

Param

Connected

FullScreen

For(K,1,N

Line(L1(K),L2(K),L1(K+1),L2(K+1

End

Line(L1(N+1),L2(N+1),L1(1),L2(1

DispGraph

Les → correspondent à la touche "sto→" qui se trouve juste au dessus de la touche "On". Chaque point P_i est enregistré par ses deux coordonnées (x_i,y_i) dans les deux listes L1 et L2, et la courbe de Bézier sera tracée en paramétrique à l'aide de la formule donnée plus haut. Les "Line" finaux permettent de dessiner l'enveloppe convexe dans laquelle se trouve la courbe.