Introduction

La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) par ce nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...)".

On distingue couramment la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) "exacte" (celle dont on parle ici) de la division "avec reste" (la division euclidienne). Le résultat d'une division s'appelle le quotient.

Problématique

La division sert :

• à faire un partage équitable entre un nombre de parts déterminé à l'avance, et donc à déterminer la taille d'une part. Par exemple :

Question : Si on répartit équitablement 500 grammes de poudre (La poudre est un état fractionné de la matière. Il s'agit d'un solide présent...) de perlimpimpin entre huit personnes, combien chacune d'elle obtiendra-t-elle ?

Réponse : , chacun obtient 62,5 grammes de poudre de perlimpimpin

• à déterminer le nombre de parts possible, d'une taille déterminée à l'avance. Par exemple :

Question : Si on répartit 500 grammes de poudre de perlimpimpin par tranche de 70 g, combien de personnes pourra-t-on servir ?

Réponse : , on pourra servir 7 personnes et il restera de quoi servir 1/7 de personne (...)

Définition

Étant donné un anneau intègre (A, +, ×), la division sur A est la loi de composition : , notée par exemple « ÷ », telle que , a ÷ b = c si et seulement si b × c = a.

L'intégrité de l'anneau assure que la division a bien un résultat unique. Par contre, elle n'est définie que sur si et seulement si A est un corps, et en aucun cas définie pour b = 0.

Si la division n'est pas définie partout, on peut étendre conjointement la division et l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) A: Dans le cas commutatif, on définit sur une relation d'équivalence par et on écrit a ÷ b la classe de (a,b) dans l'anneau quotient. Cet anneau quotien est un corps dont le neutre est la classe 1 ÷ 1. C'est ainsi que l'on construit en symétrisant pour la multiplication (ou à partir de en symétrisant l'addition).

Cette définition ne recouvre pas celle de division euclidienne (En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne...), qui se pose de manière analogue mais dont le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) est radicalement différent.

Dans l'idée, elle sert aussi à inverser la multiplication (dans a, combien de fois b). Le problème de définition ne se pose plus, puisque , est une partie de non vide et majorée, qui admet donc un plus grand élément.

Cette division, fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) en arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...), introduit la notion de reste. Néanmoins, comme pour toutes les divisions, le b de la définition ne peut être zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...), en effet, une division par 0 donnerait un résultat infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...).

Vocabulaire et notations - historique

Le symbole actuel de la division est un trait horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la...) séparant le numérateur (dividende) du dénominateur (diviseur). Par exemple, a divisé par b se note .

Le dénominateur donne la dénomination et le numérateur énumère : indique qu'il s'agit de quarts, et qu'il y en a trois → trois quarts

Diophante et les Romains, au IV^e siècle écrivaient déjà des fractions sous une forme semblable, les Indiens également au XII^e siècle et la notation moderne fut adoptée par les Arabes.

Le symbole : a été plus tard utilisé par Leibniz.

Les fabricants de calculatrices impriment les symboles ÷ ou / sur la touche « opérateur division ». L'utilisation de ces symboles est plus ambiguë que la barre de fraction, puisqu'elle demande de définir des priorités, mais elle est pratique pour l'écriture « en ligne » utilisée en imprimerie ou sur un écran (Un moniteur est un périphérique de sortie usuel d'un ordinateur. C'est l'écran où s'affichent...).

Aujourd'hui en France, en classe de 6^e de collège (Un collège peut désigner un groupe de personnes partageant une même...), les notations ÷, : et / sont utilisées, car la division a pour les élèves un statut d'opération. Une nuance de sens est communément admise :

• a ÷ b et a : b désignent une opération (non effectuée), et le vocabulaire approprié est dividende pour a et diviseur pour b ;
• et a / b désignent l'écriture fractionnaire du résultat de cette opération, et le vocabulaire approprié est numérateur pour a et dénominateur pour b.