Loi binomiale - Définition

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- Introduction - Calcul de p(k) - Espérance, variance, écart type - Lien avec la loi de Bernoulli - Loi des grands nombres - Convergence

Introduction

Binomiale



Paramètres	$n \geq 0$ nombre d'épreuves (entier) $0\leq p \leq 1$ probabilité de succès (réel) $q = 1 - p$
Support	$k \in \{0,\dots,n\}\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	${n\choose k} p^k q^{n-k} \!$
Fonction de répartition	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
Espérance	$np\!$
Médiane (centre)	un des $\{\lfloor np\rfloor, \lceil np \rceil\}$
Mode	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
Variance	$npq\!$
Asymétrie (statistique)	$\frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\!$
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{1-6pq}{npq}\!$
Entropie	$\frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p q \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)$
Fonction génératrice des moments	$(q + pe^t)^n \!$
Fonction caractéristique	$(q + pe^{it})^n \!$
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En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité qui correspond à l'expérience suivante :

On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p (expérience aléatoire à deux issues possibles, généralement dénommées respectivement « succès » et « échec », la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant $q = (1 - p)$ ). On compte alors le nombre de succès obtenus à l'issue des n épreuves et on appelle X la variable aléatoire correspondant à ce nombre de succès.

L'univers $X(\Omega )~$ désigne l'ensemble des entiers naturels de 0 à n.

La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par :

Cette formule fait intervenir le nombre des combinaisons de $k$ éléments parmi $n$ , généralement notée ${n\choose k}$ ou $\mathrm{C}_{n}^{k}$ , la première notation étant préconisée en France pour l'enseignement des mathématiques en terminale scientifique. Notons que ce nombre de combinaisons se distingue du nombre des arrangements de $k$ éléments parmi $n$ $\,,A^k_n = \dfrac{n!}{(n-k)!}\,,$ du fait que dans une combinaison l'ordre des éléments n'importe pas. Et comme il y a $k!$ (prononcer factorielle k) façons d'ordonner $k$ éléments, le nombre des combinaisons se déduit du nombre des arrangements par la simple division $\dfrac{A^k_n}{k!}\,$ et on obtient :

Cette loi de probabilité s'appelle la loi binomiale de paramètre (n ; p) et se note B(n ; p).

Calcul de p(k)

Une épreuve de Bernoulli conduit à la création d'un univers Ω = {S ; E}, (S pour Succès et E pour Echec).

n épreuves de Bernoulli indépendantes conduisent à la création d'un univers Ωⁿ constitué de n-uplets d'éléments de Ω, sur lequel peut se définir une probabilité produit. La probabilité de l'éventualité (S, S, ..., S, E, E, ..., E) avec k succès et n - k échecs a donc pour valeur p^kq^n-k.

Plus généralement, tout n-uplet formé de k succès et de n-k échecs aura pour probabilité p^kq^n-k quel que soit l'ordre d'apparition des S et des E.

L'évènement « X = k » est formé de tous les n-uplets comportant k succès et n - k échecs. La combinatoire permet de déterminer le nombre de n-uplets de ce type : il y en a autant que de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments ; or chaque partie correspond à une façon de placer les k succès parmi les n places du n-uplet. Il y a donc ${n \choose k}$ n-uplets, chacun ayant une probabilité égale à p^kq^n-k.

Donc $P(X = k) = {n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k} = {n \choose k} \, p^k q^{n-k}$ .

Espérance, variance, écart type

Ainsi X a la même loi que la somme S de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli de paramètre p. Comme l'espérance et la variance d'une variable aléatoire ne dépendent que de sa loi de probabilité, on en déduit que

E[X] est donc la somme des espérances de ces variables de Bernoulli, or elles ont pour espérance p et pour variance p(1-p), soit E[X]=np
de même, V(X) est la somme des variances de n variables de Bernoulli, soit V(X)=np(1-p)
$\sigma_{X} = \sqrt{np(1-p)}$