Démonstration
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Théorie de la démonstration

La logique mathématique a développé une branche qui est consacrée à l'étude des démonstrations et des systèmes déductifs et s'appelle pour cela la théorie de la démonstration.

Incomplétude et indépendance

Il est parfois possible de démontrer qu'une certaine assertion (Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie. -> voir Wiktionary) ne peut pas être démontrée dans un certain système axiomatique dont on aurait pourtant attendu qu'il puisse formaliser « toutes » les mathématiques ; ainsi l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable...) du choix ne peut pas être démontré dans la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) de Zermelo-Fraenkel, non plus que sa négation. De façon analogue, ni l'hypothèse du continu ni sa négation ne sont démontrables dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée...) de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix. On dit que ces assertions sont indépendantes de ce système d'axiomes : il est par exemple possible d'ajouter aussi bien l'axiome du choix que sa négation à la théorie des ensembles, la théorie restera cohérente (en supposant que la théorie des ensembles le soit). En fait, comme l'énonce le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au...) d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté, en un sens qu'il faut préciser dans...) de Gödel, dans toute théorie axiomatique « raisonnable » qui contient les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent pas être démontrées alors qu'elles sont en fait « vraies » ; plus précisément toutes les instances de la proposition par chacun des entiers naturels sont démontrables.

Outils d'aide à la démonstration

L'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des...) a construit des outils d'aide à la démonstration qui sont de deux ordres:

  • les assistants d'aide à la démonstration sont des outils logiciels qui aident les utilisateurs à construire leurs démonstrations,
  • les logiciels de démonstration automatique de théorèmes réalisent automatiquement les démonstrations des propositions qu'on leur soumet.
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