Complétude
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On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté, en un sens qu'il faut préciser dans chaque contexte. Dans le cas contraire on parle d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être...), surtout, semble-t-il, dans le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu traditionnellement de l'analyse...) de la logique mathématique (La logique mathématique est née à la fin du XIXe siècle de la logique au sens philosophique du terme. Ses débuts furent marqués par la rencontre entre deux idées nouvelles :).

  • Un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) est complet quand toute suite de Cauchy (En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique, ou d'un espace topologique uniforme dont les termes se rapprochent à partir d'un certain...) d'éléments de cet espace converge, voir espace complet (En mathématiques, un espace métrique M est dit complet ou espace complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de...).
  • Un espace mesurable (On appelle espace mesurable le couple (X,Ω).) est complet quand tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément...) d'un ensemble de mesure nulle (En théorie de la mesure, un ensemble négligeable ou un ensemble de mesure nulle est une partie d'un ensemble mesuré dont la définition dépend de la mesure que l'on utilise ou plutot de sa classe d'équivalence. À un niveau...) est mesurable, voir mesure.
  • En logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) un jeu de règles et/ou d'axiomes est complet quand il formalise entièrement la sémantique attendue. Cela peut se préciser de façons très différentes. On a les deux notions de complétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté, en un sens...) suivantes pour la sémantique de Tarski.
    • Un système de déduction pour une logique donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) (calcul propositionnel, ou calcul des prédicats (Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des prédicats est une formalisation du langage des mathématiques proposée par les logiciens du...) en logique classique mais aussi en logique intuitionniste ...), est complet quand il démontre les formules valides dans tous les modèles de cette logique. Plus précisément, on dit qu'une formule se déduit sémantiquement d'une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) quand dans tout modèle de la théorie, pour toute interprétation de ses variables libres, la formule est valide. Un système de déduction est fidèle ou adéquat quand toute déduction est valide sémantiquement. Il est complet quand toutes les déductions sémantiques peuvent se dériver dans le système. On parle de théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) de complétude quand il existe un système de déduction fidèle qui est complet (le système de déduction doit être raisonnable, c’est-à-dire que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des preuves dans le système, doit être récursif).
    • Une théorie axiomatique est complète quand tout énoncé du langage de la théorie est déterminé par déduction dans la théorie : il est soit démontrable, soit de négation démontrable. Cette notion est étroitement liée à celle de théorie décidable (En logique mathématique, le terme décidabilité recouvre deux concepts liés : la décidabilité logique et la décidabilité algorithmique.) mais ne se confond pas avec elle. Le premier théorème d'incomplétude de Gödel énonce que, sous des hypothèses raisonnables, aucune théorie arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On...) cohérente n'est complète. Il a pour conséquence qu'il n'y a pas système de déduction raisonnable qui capture (Une capture, dans le domaine de l'astronautique, est un processus par lequel un objet céleste, qui passe au voisinage d'un astre, est retenu dans la gravisphère de ce dernier. La...) entièrement la sémantique attendue, à savoir la vérité dans un modèle, celui des entiers naturels (le modèle standard de l'arithmétique).
  • En calcul propositionnel un système de connecteurs est complet quand il permet de décrire toutes les fonctions de la sémantique, toutes les fonctions booléennes dans le cas de la logique classique.
  • En théorie de la calculabilité (La théorie de la calculabilité (appelée aussi parfois théorie de la récursion) est une branche de la logique mathématique et de l'informatique théorique. Alors que la notion intuitive de...) ou en théorie de la complexité (La théorie de la complexité s'intéresse à l'étude formelle de la difficulté des problèmes en informatique. Elle se distingue de la théorie de la calculabilité qui...) un ensemble ou un problème de décision (En logique mathématique, on appelle problème de la décision le fait de déterminer de façon mécanique, par un algorithme, si un énoncé est un théorème de la logique égalitaire du premier ordre,...) est complet dans une classe, si, cet ensemble ou problème appartient à la classe, et si, pour une notion de réduction adéquate, tout ensemble ou problème de la classe se réduit à celui-ci. Ainsi le problème de l'arrêt, plus exactement l'ensemble des entiers n tels que la machine de code n s'arrête pour l'entrée n, est complet dans la classe des ensembles récursivement énumérables (pour la réduction récursive). La satisfaisabilité d'un ensemble de clauses du calcul propositionnel est un problème NP-complet, c’est-à-dire complet dans la classe des problèmes solubles en temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) non déterministe polynomial (pour la réduction polynomiale).
  • En théorie des ordres, un treillis est complet quand tout ensemble non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) possède une borne supérieure et une borne inférieure, voir comme cas particulier les algèbres de Boole complètes.
  • Dans le contexte de l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de...) théorique, en théorie des domaines, un ordre partiel (Le mot partiel peut être employé comme :) complet (cpo) est un ensemble partiellement ordonné qui a un plus petit élément et dont toutes les chaînes ont une borne supérieure.
  • En théorie des graphes (Le terme de graphe désigne en mathématiques une opération d'application. Il possède deux acceptions :) un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) (ou un sous-graphe) non orienté est complet quand toute paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) de sommets est reliée par une arête.
  • et quelques autres ...
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