Assertion
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Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie.
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En mathématiques, une assertion est une phrase mathématique, à laquelle il est possible, dans le cadre d'une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...), d'attribuer une valeur de vérité (La notion de valeur de vérité consiste à attribuer aux énoncés des valeurs numériques au travers de fonctions dont il faudra définir les règles de composition : c'est le...) vraie ou fausse, mais pas les deux (principe du tiers exclu). Autrement dit, nous devons pouvoir dire sans aucune ambiguïté si cette formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en...) est vraie ou fausse par rapport à un système d'axiomes donné et en concordance avec une logique mathématique (La logique mathématique est née à la fin du XIXe siècle de la logique au sens philosophique du terme. Ses débuts furent marqués par la rencontre entre deux idées...).

Exemples

  • 2 + 2 = 4 est une assertion (Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie. -> voir Wiktionary) vraie dans la théorie des entiers naturels.
  • e = 2,71 (où e désigne la base du logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel...) népérien) est une assertion fausse dans la théorie des nombres réels.
  • " il pleuvra demain " n'est pas une assertion.
  • L'assertion 1 + 1 = 0 est fausse dans la théorie des entiers mais est vraie dans la théorie des nombres modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo (informatique) est une fonction qui au couple (a, b) d'entiers...) 2.

Nous entendons souvent dire que 2 + 2 = 5 est une affirmation fausse ; en fait cela sous-entend que 2 et 5 sont des entiers naturels et en utilisant les axiomes de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) des entiers naturels, nous aboutissons à une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) évidente 1 = 0, par exemple. Mais nous pouvons faire devenir cette égalité vraie en considérant 2 et 5 comme égaux à 0 et en définissant l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les...) par 0 + 0 = 0. Nous construisons dans ce cas une autre théorie ; tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le problème est de savoir si ensuite cette théorie sera d'une quelconque utilité. Et pourra-t-on trouver beaucoup d'adeptes de cette théorie ? Après tout des savants italiens du XVIe siècle comme Cardan s'enhardissaient à travailler avec des racines carrées de nombres négatifs et notaient abusivement un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe imaginaire \sqrt{-1} ; cela donna plus tard naissance à la théorie des nombres complexes.

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