Dérivée de Lie - Définition
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Introduction
La dérivée de Lie est une opération de différentiation naturelle sur les champs de tenseurs, en particulier les formes différentielles, généralisant la dérivation directionnelle d'une fonction sur une variété différentielle.
On note ici M une variété différentielle de dimension n, ΩM l'espace des formes différentielles sur M et X un champ de vecteurs sur M.
Premiers exemples
Dérivée de Lie d'une fonction numérique
Définition comme dérivée directionnelle
La dérivée de Lie généralise aux variétés différentielles la notion de dérivée directionnelle d'une fonction numérique.
Si f est une fonction différentiable de la variété différentielle M dans
![\mathcal{L}_Xf(p)=X_p \cdot f=df(p)\, [X(p)]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/6/61bdac9594c8196e41047ba46cc718c3_91f0d41f48aa034592e816153f4c3b6d.png)
C'est-à-dire l'image du vecteur X(p) par la différentielle de f en p. Si la variété est munie d'une structure riemannienne, il est encore possible d'écrire ce calcul à l'aide du gradient de f :
En coordonnées locales, et en utilisant les conventions de sommation d'Einstein, on peut encore l'écrire ainsi :
Définition équivalente, en suivant le flot
Avec les mêmes notations, le champ de vecteurs X définit une famille de courbes intégrales sur M.
Notamment il existe une courbe γ(t), tracée sur M, passant par p en t=0, et tangente au champ de vecteurs en tout point :
La dérivée de Lie de la fonction f peut alors également être définie par :
-
Identification des dérivations et des champs de vecteurs
Soit de nouveau une variété différentielle M, F l'anneau des fonctions numériques indéfiniment différentiables sur M.
Une dérivation est une application de F dans F, linéaire et qui vérifie la formule de Leibniz :
Notamment, pour tout champ de vecteurs X, la dérivation de Lie
La composée de deux dérivations n'est plus une dérivation. Le théorème de Schwarz de l'analyse à plusieurs variables ne se généralise pas : si X et Y sont deux champs de vecteurs, les dérivées secondes X.(Y.f) et Y.(X.f) ne sont pas nécessairement égales. Ce défaut de commutation est à l'origine de la définition du crochet de Lie qui coïncide avec la dérivée de Lie des champs de vecteurs.
Dérivée de Lie d'un champ de vecteurs
Définition par le crochet de Lie
Soit V une variété différentielle, X et Y deux champs de vecteurs sur V.
Alors l'expression :
est une dérivation sur V, ce qui permet de parler du champ de vecteurs associé. On le note [X,Y] (crochet de Lie de X et Y), ou encore
![{\mathcal L}_{[X,Y]}={\mathcal L}_{{\mathcal L}_X Y}={\mathcal L}_X{\mathcal L}_Y-{\mathcal L}_Y{\mathcal L}_X=-{\mathcal L}_{{\mathcal L}_Y X}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/7/7fe04edfbd56daaa038349806fd8a98c_f81e5d14f81b3a7743a685394e3b9ca8.png)
qui se traduit, pour toute fonction indéfiniment différentiable f, par :
![{\mathcal L}_{[X,Y]}f=[X,Y]\cdot f = X\cdot (Y\cdot f) -Y \cdot (X\cdot f) = {\mathcal L}_X Y.f-{\mathcal L}_Y X.f](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/d99c0054d35ae8d3a984864e7de7444f_03f8196f18a26c4f3526158576469505.png)
Il définit en effet sur l'espace vectoriel des champs de vecteurs une structure d'algèbre de Lie.
(attention il n'y a pas associativité : d'une part
En coordonnées locales, toujours dans le cadre des conventions d'Einstein
![[X,Y] = X\cdot(Y^a\frac{\partial}{\partial x^a}) - Y\cdot(X^a\frac{\partial}{\partial x^a}) = \left(X^b \frac{\partial Y^a}{\partial x^b} - Y^b \frac{\partial X^a}{\partial x^b}\right) \frac{\partial}{\partial x^a}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/7/760a7a09aff776a292e21c01bef8e94b_d69a975ccfe5621a3096d63e9a192c6e.png)
Définition en suivant le flot
Soit ξt le flot du champ de vecteurs X. Il est possible de transporter le vecteur Y à l'aide de l'application de flot, et d'en tirer la valeur de la dérivée de Lie :
 ={\mathcal L}_XY(p)=\lim_{t\to 0} \frac1t\left(Y(p)-\xi_t^*Y(p)\right)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/1/1e14843138a78b1fbed15b9517ee49c1_79760b118dee23bd40885bbcf5ee6a48.png)
où
