Algèbre de Lie - Définition

Introduction

En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie bilinéaire, antisymétrique et qui vérifie l'identité de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps.

Définitions, exemples et premières propriétés

Définition

Soit un corps.

Une algèbre de Lie sur est un espace vectoriel sur muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes:

1. ;
2. 

Le produit [x,y] est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de x et y. Puisque le crochet est une fonction bilinéaire alternée de x,y, on a aussi l'identité [x,y] = − [y,x] pour tous x,y dans . L'identité (2) ci-dessus est appelée l'identité de Jacobi.

Une sous-algèbre de Lie de est un sous-espace vectoriel de stable pour le crochet de Lie. Toute sous-algèbre de Lie de est munie de manière évidente d'une structure d'algèbre de Lie sur .

Remarque : contrairement aux algèbres tensorielles (et aux algèbres de Clifford, dont les algèbres extérieures), les algèbres de Lie ne sont pas unitaires, ni associatives.

Quelques exemples classiques d'algèbres de Lie

• Tout espace vectoriel E peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant . Une telle algèbre de Lie, où le crochet de Lie est identiquement nul, est appelée abélienne.
• On peut, à partir d'une algèbre associative (A, * ) , construire une algèbre de Lie, de la façon suivante : on pose . Il est facile de vérifier que l'on définit ainsi sur A une structure d'algèbre de Lie.

  Inversement, toute algèbre de Lie est contenue dans une algèbre associative, appelée algèbre enveloppante, dans laquelle le crochet de Lie coïncide avec le crochet définit ci-dessus. L'algèbre enveloppante est beaucoup plus grande que l'algèbre de départ.

• Comme exemple concret de la situation ci-dessus, considérons , l'espace des matrices à coefficients dans . C'est une algèbre associative pour le produit matriciel usuel. On peut donc également lui donner une structure d'algèbre de Lie, avec le crochet [A,B] = AB − BA. On note cette algèbre, lorsque l'on considère sa structure d'algèbre de Lie.
• Bien évidemment, tout sous-espace vectoriel de stable par le crochet est une algèbre de Lie. Ainsi, on peut vérifier que l'ensemble des matrices de trace nulle est une algèbre de Lie, que l'on note .

  En fait, le théorème d'Ado montre que toute algèbre de Lie de dimension finie peut être vue comme une sous-algèbre de .

• Un autre exemple fondamental, plus géométrique, est le suivant. Soit M une variété différentielle. Alors l'espace vectoriel formé par les champs de vecteurs sur M possède une structure naturelle d'algèbre de Lie, sans être une algèbre.
• En particulier, l'ensemble des vecteurs de Killing d'une variété forme une algèbre de Lie, qui correspond au groupe d'isométries de la variété considérée.
• L'espace euclidien tri-dimensionnel muni du crochet de Lie avec pour multiplication le produit vectoriel est une algèbre de Lie.

Morphismes et idéaux

Un morphisme d'algèbre de Lie est une application linéaire φ qui respecte le crochet de Lie, c'est-à-dire telle que

.

Un idéal de est un sous-espace vectoriel tel que . C'est en particulier une sous-algèbre de Lie. Si une algèbre de Lie n'admet pas d'idéal non trivial, elle est dite simple.

Si est un idéal de , on peut former le quotient de par  : c'est l'espace vectoriel quotient , muni du crochet défini par . La projection est alors un morphisme d'algèbres de Lie.

Une représentation d'une algèbre de Lie est un morphisme . Autrement dit, c'est une application linéaire telle que φ([g,h]) = φ(g)φ(h) − φ(h)φ(g).

Le morphisme défini par ad(g)(h) = [g,h] définit une représentation de , appelée représentation adjointe. L'identité de Jacobi exprime précisément le fait que ad respecte le crochet. Le noyau de cette représentation est le centre de l'algèbre de Lie .