Algèbre de Lie - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie bilinéaire, antisymétrique et qui vérifie l'identité de Jacobi. Une algèbre de Lie (En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien...) est un cas particulier d'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) sur un corps.

Définitions, exemples et premières propriétés

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...)

Soit \mathbb{K} un corps.

Une algèbre de Lie sur \mathbb{K} est un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) \mathfrak{g} sur \mathbb{K} muni d'une application bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est...) (x,y) \mapsto [x,y] de \mathfrak{g}\times\mathfrak{g} dans \mathfrak{g} qui vérifie les propriétés suivantes:

  1. \forall x \in \mathfrak{g},\ [x,x]=0;
  2. \forall x,y,z \in \mathfrak{g},\ [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0

Le produit [x,y] est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de x et y. Puisque le crochet est une fonction bilinéaire alternée de x,y, on a aussi l'identité [x,y] = − [y,x] pour tous x,y dans \mathfrak{g}. L'identité (2) ci-dessus est appelée l'identité de Jacobi.

Une sous-algèbre de Lie de \mathfrak{g} est un sous-espace vectoriel (En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un...) de \mathfrak{g} stable pour le crochet de Lie. Toute sous-algèbre de Lie de \mathfrak{g} est munie de manière évidente d'une structure d'algèbre de Lie sur \mathbb{K}.

Remarque : contrairement aux algèbres tensorielles (et aux algèbres de Clifford, dont les algèbres extérieures), les algèbres de Lie ne sont pas unitaires, ni associatives.

Quelques exemples classiques d'algèbres de Lie

  • Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) espace vectoriel E peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant \forall x,y \in E,\ [x,y]=0. Une telle algèbre de Lie, où le crochet de Lie est identiquement nul, est appelée abélienne.
  • On peut, à partir d'une algèbre associative (En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie...) (A, * ) , construire une algèbre de Lie, de la façon suivante : on pose \forall x,y \in A,\ [x,y]=x*y-y*x. Il est facile de vérifier que l'on définit ainsi sur A une structure d'algèbre de Lie.
    Inversement, toute algèbre de Lie \mathfrak{g} est contenue dans une algèbre associative, appelée algèbre enveloppante, dans laquelle le crochet de Lie coïncide avec le crochet définit ci-dessus. L'algèbre enveloppante est beaucoup plus grande que l'algèbre de départ.
  • Comme exemple concret de la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) ci-dessus, considérons \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), l'espace des matrices n \times n à coefficients dans \mathbb{K}. C'est une algèbre associative pour le produit matriciel (Le produit matriciel désigne le produit de matrices, initialement appelé la « composition...) usuel. On peut donc également lui donner une structure d'algèbre de Lie, avec le crochet [A,B] = ABBA. On note \mathfrak{gl}_n(\mathbb{K}) cette algèbre, lorsque l'on considère sa structure d'algèbre de Lie.
  • Bien évidemment, tout sous-espace vectoriel de \mathfrak{gl}_n(\mathbb{K}) stable par le crochet est une algèbre de Lie. Ainsi, on peut vérifier que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des matrices de trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le...) nulle est une algèbre de Lie, que l'on note \mathfrak{sl}_n(\mathbb{K}).
    En fait, le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) d'Ado (ADO, sigle de trois lettres où se retrouvent les deux sigles de deux lettres AD et DO, peut faire...) montre que toute algèbre de Lie de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) finie peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) comme une sous-algèbre de \mathfrak{gl}_n(\mathbb{K}).
  • Un autre exemple fondamental, plus géométrique, est le suivant. Soit M une variété différentielle. Alors l'espace vectoriel formé par les champs de vecteurs sur M possède une structure naturelle d'algèbre de Lie, sans être une algèbre.
  • En particulier, l'ensemble des vecteurs de Killing d'une variété forme une algèbre de Lie, qui correspond au groupe d'isométries de la variété considérée.
  • L'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) tri-dimensionnel \mathbb{R}^3 muni du crochet de Lie avec pour multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) le produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel...) est une algèbre de Lie.

Morphismes et idéaux

Un morphisme d'algèbre de Lie \mathfrak{g} est une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation...) φ qui respecte le crochet de Lie, c'est-à-dire telle que

\forall a,b \in \mathfrak{g},\ \phi([a,b])=[\phi(a),\phi(b)].

Un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....) de \mathfrak{g} est un sous-espace vectoriel \mathfrak{h} tel que \forall g\in\mathfrak{g},\ \forall h\in \mathfrak{h},\ [g,h]\in\mathfrak{h}. C'est en particulier une sous-algèbre de Lie. Si une algèbre de Lie n'admet pas d'idéal non trivial, elle est dite simple.

Si \mathfrak{h} est un idéal de \mathfrak{g}, on peut former le quotient de \mathfrak{g} par \mathfrak{h} : c'est l'espace vectoriel quotient \mathfrak{g}/\mathfrak{h}, muni du crochet défini par [g+\mathfrak{h},g'+\mathfrak{h}] = [g,g']. La projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...) \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}/\mathfrak{h} est alors un morphisme d'algèbres de Lie.

Une représentation d'une algèbre de Lie \mathfrak{g} est un morphisme \phi\,:\,\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}_n(\mathbb{K}). Autrement dit, c'est une application linéaire telle que φ([g,h]) = φ(g)φ(h) − φ(h)φ(g).

Le morphisme ad:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl(g)} défini par ad(g)(h) = [g,h] définit une représentation de \mathfrak{g}, appelée représentation adjointe. L'identité de Jacobi exprime précisément le fait que ad respecte le crochet. Le noyau de cette représentation est le centre Z(\mathfrak{g})=\{g\in\mathfrak{g}\forall h\in\mathfrak{g} [g,h]=0\} de l'algèbre de Lie \mathfrak g.

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