Fonction numérique
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Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de...)

Lorsque nous exprimons qu’une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de...) dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à partir d’une autre. Et si ces quantités sont représentées par des variables, alors une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) est fonction d’une autre, quand il y a une règle qui permet d’obtenir la valeur de cette variable, à partir de la valeur de l’autre.

Exemple: la quantité "chiffre d'affaire" d'une entreprise dépend de la quantité "nb de produits vendus"

Une fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à partir...) est une règle qui permet d'associer à un réel un autre nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel.
Donnons l’exemple d’un épicier qui augmente les prix de tous ses articles de 20%. Ajouter à chaque prix 20% du prix, revient à multiplier chaque prix par 120%. La règle que l’épicier va appliquer à chaque prix est la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par 1,2 et nous dirons que le nouveau prix est fonction de l’ancien.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Une fonction numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) f ou fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux inclus dans .) d’une variable réelle d’une partie D de \mathbb R dans \mathbb R, est une correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt...) (ou application) qui à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément x de D associe un réel et un seul noté f(x).
Ce réel f(x) est l’image de x par f.

Cette partie D de \mathbb R est appelée l’ensemble de définition de f.

Notation

Nous notons la fonction :

\begin{matrix} f: & D \subset \mathbb R & \rightarrow & \mathbb R \\ & x & \mapsto & f(x) \end{matrix}

(observer que la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de...) flèche possède un poussoir que n'a pas la première)

ou plus simplement f:  x  \mapsto  f(x)

Exemple

Soit la fonction qui à tout nombre réel de l'intervalle [ − 1; + 1] associe son carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la...) diminué de 1.

Nous pouvons définir la fonction f des manières suivantes :

Soit f définie par :

pour tout réel x dans [ -1 ; +1 ],\ f(x) = x^2 - 1

ou encore :

\begin{matrix}f: & [-1;1] & \rightarrow & \mathbb R\\ & x & \mapsto & f(x) = x^2-1\end{matrix}

Remarque

Nous ne devons pas confondre f et f(x). Dans l’exemple précédent f est la règle qui élève un réel au carré et lui retranche 1, tandis que f(x) est égal au réel x²-1 qui est associé à x.

Ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est...)

Soit f une fonction de D dans \mathbb R.
Soit x un réel. Si x appartient à D, alors on dit que f est définie en x, et si x n’appartient pas à D on dit que f n’est pas définie en x.

Remarques

  • L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) de définition d'une fonction peut être donné dans l'énoncé définissant la fonction et sinon il doit être déterminé.
  • Rechercher l’ensemble de définition ou le domaine de définition d’une fonction, c’est déterminer les réels x tels que f(x) existe.

Erreurs classiques

Bon nombre de lycéens tiennent pour vraie la relation f(a+b)=f(a)+f(b) :

  • pour la fonction carré, cela donnerait (a+b)²=a²+b², ce qui est faux (voir identité remarquable) ;
  • pour la fonction sinus, cela donnerait sin(a+b)=sin(a)+sin(b) donc 0=sin(180°)=sin(90°+90°)=sin(90°)+sin(90°)=2, soit 0=2 (voir fonction trigonométrique ;
  • pour la fonction logarithme, cela donnerait ln(a+b)=ln(a)+ln(b) donc ln(2)=ln(1)+ln(1)=0, ce qui est encore faux.

En fait la confusion vient de l’application abusive des règles de calcul uniquement valables pour les fonctions linéaires, en d’autres mots pour les situations de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.).

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