Inversion (géométrie) - Définition

Définition générale dans le cadre d’un espace affine euclidien

Soit un espace affine euclidien, un point de et , alors pour tout point de distinct de , il existe un unique point de tel que :

• , et sont alignés ;
• (produit des valeurs algébriques).

On peut ainsi définir l’inversion de centre et de rapport comme l’application de dans lui-même qui, à un point M, associe l’unique point correspondant aux caractéristiques précédentes.

Dans le plan

Dans le plan affine euclidien

Dans le plan affine euclidien, l’inverse d’un point est constructible au compas lorsqu’on connait le , ce qui permet de démontrer le :

Théorème de Mohr et Mascheroni

Toute construction à la règle et au compas peut se faire uniquement au compas (à l’exception des tracés des portions de droites).

Signalons aussi l’existence de "machines à inversion", l’inverseur de Charles Peaucellier :

L'inverseur est un objet mécanique avec deux barres OP et OQ de longueur fixe et 4 autres barres MP, MQ, M'P, M'Q de longueurs fixes avec les points de pivots aux sommets du losange OMPQM'.

Pour un point du plan affine euclidien et un rapport , avec , on peut construire l’inverse géométrique, pour l’inversion de centre et de rapport , de tout point dans la couronne centrée en , de rayon intérieur , et de rayon extérieur de la façon suivante :

• Un point dans la couronne étant donnée, il existe deux points d’intersection et du cercle de centre et de rayon , et du cercle de centre et de rayon
• Puis on construit l’unique point tel que soit un losange.
• L’application qui à fait correspondre est bien l’inversion cherchée.

Remarque : cet inverseur fut utilisé pour transformer un mouvement rectiligne en mouvement circulaire.
Voir : figure interactive de ChronoMath

Dans le plan complexe

Dans le plan complexe, une inversion particulière est celle par rapport au cercle unité ; en termes d’affixe complexe, elle est codée par l'application . On voit ainsi que cette inversion est composée de la conjugaison complexe et d’une homographie.

C’est en fait un résultat général : un cercle d’inversion étant donné, on choisit trois points sur ce cercle, puis l’unique homographie qui envoie respectivement sur . On vérifie alors que l’application , où dénote la conjugaison complexe, est précisément l’inversion cherchée, et son écriture comme composée d’une homographie et de la conjugaison complexe découle de l’écriture de et comme homographie.

On fait ensuite le lien avec le groupe circulaire, qui est l’ensemble des transformations, définies en fait sur la droite projective complexe, et qui envoient les droites et les cercles sur des droites et des cercles ; en identifiant la droite projective complexe à la sphère de Riemann, cette propriété de conservation s’exprime plus simplement : ce sont les cercles tracés sur cette sphère qui sont conservés. Il est clair que les inversions appartiennent au groupe circulaire ; et relativement simple de montrer qu’il en est de même pour les homographies. On peut montrer ensuite qu’en fait, le groupe circulaire est engendré par inversions et homographies.