Sphère de Riemann
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Introduction

En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière à ce que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Elle est baptisé du nom du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...) du 19eme siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une...) Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénotée \mathbb P^1(\mathbb C).

D'un point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) purement algébrique, les nombres complexes avec un élément supplémentaire à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose...) constituent un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) de nombres connu sous le nom de nombres complexes prolongés. L'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science des...) de cet ensemble n'obéit pas à toutes les règles habituelles de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon...); notamment les nombres complexes prolongés ne forment pas un corps. En revanche, la sphère de Riemann (En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière à...) a un comportement géométriquement et analytiquement non divergent, même au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici...) de l'infini; c'est une variété complexe unidimensionnelle, également appelée une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) de Riemann.

En analyse complexe, la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé...) de Riemann permet une expression élégante de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée...) fonctions méromorphes. La sphère de Riemann est omniprésente en géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection.) et en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) algébrique comme exemple fondamental d'une variété complexe, d'un espace projectif, et d'une variété algébrique. Elle a également une utilité dans d'autres disciplines qui dépendent de l'analyse et de la géométrie, telle que la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...) quantique (représentation des états quantiques) et d'autres branches de la physique (théorie des twisteurs par exemple).

Projection stéréographique d'un point A du plan complexe sur le point α de la sphère de Riemann. Idem pour un point B dont le module est inférieur à 1.
Projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) stéréographique d'un point A du plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.) sur le point α de la sphère de Riemann. Idem pour un point B dont le module est inférieur à 1.

La projection stéréographique, par exemple sur le plan équatorial à partir du pôle Nord (Le pôle Nord géographique terrestre, ou simplement pôle Nord, est le point le plus septentrional de la planète Terre. Il est défini comme le point d’intersection de l'axe de rotation de la Terre avec la surface...), permet de voir que la sphère privée d'un point est homéomorphe au plan. Inversement, on passe du plan à la sphère en ajoutant un point à l'infini", noté \infty\,. Mais le plan \mathbb{R}^2\, peut s'identifier à \mathbb C\,. La sphère de Riemann, c'est la sphère usuelle envisagée de ce point de vue, autrement dit la droite projective complexe.

Remarque

Plus généralement, l'espace \mathbb{R}^n\, est homéomorphe à la sphère S^n\, (sphère unité de l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou d'orthogonalité. En physique, l'espace...) \mathbb{R}^{n+1}\,) privée d'un point. Encore plus généralement, le passage de \mathbb{R}^n\, à S^n\, est un exemple de compactification d'Alexandrov

La droite projective complexe

C'est l'ensemble des "droites vectorielles" de \mathbb{C}^2\,. Une telle droite étant définie par un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) non nul, défini à un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un...) de proportionalité près, on peut la voir comme \mathbb{C}^2\setminus\{0\}\, quotienté par la relation d'équivalence

(z,t)\simeq (z^\prime, t^\prime) si et seulement si il existe un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe \lambda\, non nul tel que (z,t)=\lambda (z^\prime, t^\prime).

On la note \mathbb P^1(\mathbb C) (voir l'article espace projectif pour la construction générale de l'espace projectif, et on note [z,t]\, le point associé à (z,t)\,. On dit que (z,t)\, est un système de coordonnées homogènes (En mathématique, les coordonnées homogènes, introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien. Les coordonnées...) du point [z,t]\,.

Remarquons aussi que \phi_1 : z\mapsto [z,1] est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans...) de \mathbb{C} sur \mathbb P^1(\mathbb C)\setminus[1,0] ; de même \phi_2 : z\mapsto [1,z] est une bijection de \mathbb{C} sur \mathbb P^1(\mathbb C)\setminus[0,1]. Ces deux façons d'identifier \mathbb{C} à \mathbb P^1(\mathbb C) privé d'un point sont analogues aux identications de \mathbb{R}^2\, à la sphère unité privée d'un point à l'aide des projections stéréographiques de pôles Nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.) et Sud (Le sud est un point cardinal, opposé au nord.). Cette remarque permet de donner une bijection explicite entre S^2=\{(X,Y,Z)\in\mathbb{R}^3, X^2+Y^2+Z^2=1\} et \mathbb P^1(\mathbb C). C'est l'application g\, définie par

g(X,Y,Z)=[X+iY,Z]\, si Z\not=1\, et g(X,Y,Z)=[Z,X-iY]\, si Z\not=-1\,

(ces deux définitions sont compatibles si Z\not=\pm 1, grâce à l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) de la sphère !). Son application réciproque (En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui « fait exactement l'inverse de ce que fait une...), si on identifie \mathbb{R}^3\, à \mathbb{C}\times\mathbb{R},. est

H :(z,t)\mapsto \Big(\frac{2z\overline t}{\vert z\vert^2+ \vert t\vert^2}, \frac{\vert z\vert^2- \vert t\vert^2}{\vert z\vert^2+ \vert t\vert^2}\Big)

Homographies

On peut faire agir une matrice de GL_2(\mathbb C) sur la sphère; la matrice a,b,c,d agit sur z\in\mathbb P^1(\mathbb C) ainsi:

  • si z\in\mathbb C et bz+d\neq0, on lui associe \frac{az+c}{bz+d}
  • si z\in\mathbb C et bz + d = 0, on lui associe \infty
  • si z=\infty et b = 0, on lui associe \infty
  • si z=\infty et b\neq0, on lui associe \frac{a}{b}

Une homographie est la bijection de la sphère de Riemann induite par l'action d'une matrice (on identifie souvent les deux); c'est même une fonction méromorphe.

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