Sphère - Définition et Explications

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Introduction

Une sphère dans un espace euclidien

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point (Graphie) appelé centre. La valeur de cette distance au centre est appelée le rayon de la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...). Elle n'inclut donc pas les points situés à une distance inférieure au rayon, au contraire de la boule. La surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...) ne constitue pas une sphère parfaite mais sa forme en est proche (on parle de sphéroïde), d'où le terme « géosphère » pour désigner les couches enveloppant la terre (lithosphère, hydrosphère (L'hydrosphère est, de façon générale, l'enveloppe externe d'une planète ou d'un satellite qui...), atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :) et biosphère (La notion de biosphère désigne à la fois un espace et un processus auto-entretenu (jusqu'à ce...) notamment).

Plus généralement, dans un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une structure mathématique qui développe des...) voire dans un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre...), une sphère est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des points à même distance d'un centre. Leur forme peut alors être très différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...) de la forme ronde usuelle. Les sphères des espaces euclidiens constituent des objets fondamentaux en topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des...).

La déformation d'une sphère par une transformation affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) produit un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois...). Le ballon de rugby concrétise une telle forme.

Représentation

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) cartésienne, une sphère de centre (x0,y0,z0) et de rayon r est l'ensemble des points (x,y,z) tels que :

\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2.

Les points de la sphère de rayon r et de centre l'origine du repère peuvent être paramétrés par :

  \left\{ \begin{matrix} x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\ y & = & r \cos\theta \; \sin\phi \\ z & = & r \sin\theta \end{matrix} \right. \qquad (\frac{-\pi}{2} \le\theta\le \frac{\pi}{2} \mbox{ et } -\pi \le \phi \le \pi)

On peut voir \displaystyle \theta comme la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre...) et \displaystyle \phi comme la longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre...). (Voir fonctions trigonométriques et coordonnées sphériques (On appelle coordonnées sphériques divers systèmes de coordonnées de l'espace...).)

Développement

On peut démontrer que la sphère est une surface non développable. Il n'existe pas de patron de la sphère. Néanmoins, il est possible en pratique, d'obtenir des surfaces développables approchant la sphère très fidèlement, c'est le cas de tous les ballons cousus. Voir : Ballon de football (icosaèdre tronqué), ballon de Volley Ball, et ballon fantaisie (en fuseaux de pôle à pôle.)

Notez que la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée...) interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la...) gauchit les surfaces et fidélise l'approche… Plus on gonfle plus la sphère s'approche de la perfection.

Formules

La surface d'une sphère de rayon R est :

S=4 \pi R^{2} \,

Le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) qu'elle renferme est :

V= \frac{4 \pi R^{3}}{3}

Sa compacité est de :

C= \frac{S}{V}= \frac {3}{R}

Le moment d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa...) d'une sphère homogène pleine de rayon R, de masse volumique (La masse volumique est une grandeur physique qui caractérise la masse d'un matériau par...) ρ, de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) M par rapport à un axe passant par son centre est:

 I=\frac{2 M R^2}{5}=\frac{8 \pi \rho R^5}{15}

Le moment d'inertie d'une sphère homogène vide de rayon R, de masse M par rapport à un axe passant par son centre est :

 I=\frac{2 M R^2}{3}=\frac{8 \pi \rho R^5}{9}

L'élément d'aire de la sphère de rayon R\, dans les coordonnées latitude-longitude est d\sigma=R^2\cos\theta d\theta d\phi\,. On en déduit que l'aire d'un fuseau (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) \alpha\, exprimé en radians) est  2\alpha R^2\,.

Cela permet aussi de calculer l'aire d'une calotte sphérique (on dit aussi segment de sphère), c’est-à-dire d'une portion de sphère limitée par deux plans parallèles de distance h\, l'un pouvant être tangent à la sphère. On trouve 2\pi Rh\, : l'aire est la même que celle d'un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée...) circulaire de même hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat remarquable est démontré par Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien :...) dans son traité De la sphère et du cylindre. Selon Cicéron, Archimède aurait, demandé que soient gravés, en mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir...) de ce résultat, sur son tombeau, une sphère et son cylindre circonscrit.

Le cylindre circonscrit à une sphère donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) a un volume égal à 32 fois le volume de la sphère.

La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Elle est la réponse à la question d'isopérimétrie (En géométrie plane, l'isopérimétrie traite, en particulier, la question de...) pour l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 3. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les...) (en l'absence de gravité) sont des sphères car la tension superficielle (À la surface d'un milieu dense (liquide ou solide) ou à l'interface entre deux milieux...) essaie de minimiser l'aire.

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