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Loi du zéro-un de Borel - Définition

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- Introduction - Énoncé - Limite supérieure d'ensembles

Introduction

La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, par Émile Borel, en vue, semble-t-il, d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au lemme de Borel-Cantelli, d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres.

Énoncé

Dans un espace probabilisé \scriptstyle\ \left(\Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right), considérons une suite \scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0} d'éléments de \scriptstyle\ \mathcal{A} (ou "évènements"). La loi du zéro-un de Borel stipule que :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements \scriptstyle\ A_n sont indépendants, alors
\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)
vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général \scriptstyle\ \mathbb{P}(A_n) est convergente ou divergente.
  • Si la série de terme général \scriptstyle\ \mathbb{P}(A_n) est convergente, alors, en vertu du lemme de Borel-Cantelli, on a \scriptstyle\ \mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)=0. C'est dans ce sens que l'hypothèse d'indépendance est superflue.
  • Supposons que la série de terme général \scriptstyle\ \mathbb{P}(A_n) est divergente, et montrons que
\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)=1,

ou, de manière équivalente, montrons que

\mathbb{P}\left(\overline{\limsup_n A_n}\right)=0.

On rappelle que

\overline{\limsup_n A_n} = \liminf_n\ \overline{A_n},

d'après les lois de De Morgan. Plus précisément,

\begin{align} \overline{\limsup_n A_n} &= \overline{\bigcap_{n\ge0}\bigcup_{k\ge n} A_k} \\ &= \bigcup_{n\ge0}\bigcap_{k\ge n}\overline{A_k} \\ &= \bigcup_{n\ge0}B_n, \end{align}

où

B_n= \bigcap_{k\ge n}\overline{A_k} =\overline{A_n}\cap B_{n+1}

est une suite croissante d'évènements. Ainsi

\mathbb{P}\left(\overline{\limsup_n A_n}\right)=\lim_n\ \mathbb{P}\left(B_n\right).

On conclut en montrant que \scriptstyle\ \mathbb{P}\left(B_n\right)=0 . Posons

B_{n,\ell}= \bigcap_{n\le k\le n+\ell}\overline{A_k} =\overline{A_{n+\ell}}\cap B_{n,\ell-1}.

En vertu de l'indépendance des \scriptstyle\ A_i,

\mathbb{P}\left(B_{n,\ell}\right)= \prod_{n\le k\le n+\ell}\mathbb{P}\left(\overline{A_k}\right) =\prod_{n\le k\le n+\ell}\left(1-\mathbb{P}\left(A_k\right)\right).

En vertu de la décroissance en \scriptstyle\ \ell de \scriptstyle\ B_{n,\ell},

\mathbb{P}\left(B_{n}\right)= \lim_{\ell} \mathbb{P}\left(B_{n,\ell}\right).

Or on a :

\begin{align} \mathbb{P}\left(B_{n,\ell}\right) &= \prod_{k=n}^{n+\ell} \left(1-\mathbb{P}\left(A_k\right)\right) \\ &\le \prod_{k=n}^{n+\ell}\exp\left(-\mathbb{P}\left(A_k\right)\right) \\ &= \exp\left(-\sum_{k=n}^{n+\ell}\mathbb{P}\left(A_k\right)\right) \underset{\ell \rightarrow \infty}{\longrightarrow}0 \end{align}

par convexité de l'exponentielle puis divergence de la série de terme général \scriptstyle\ \mathbb{P}\left(A_n\right),\ ce qui achève la démonstration.

Limite supérieure d'ensembles

Définition —  La limite supérieure \scriptstyle \limsup_n\, A_n d'une suite \scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}\, de parties d'un ensemble \scriptstyle \Omega est l'ensemble des éléments \scriptstyle \omega de \scriptstyle \Omega tels que l'assertion \scriptstyle \{\omega\in A_k\} soit vérifiée pour une infinité d'indices \scriptstyle k\ge 0 .

En d'autres termes, on peut dire que \scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n si et seulement si l'ensemble \scriptstyle \{k\ge 0\ \vert\ \omega\in A_k\} est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout \scriptstyle n\ge 0 , on peut trouver \scriptstyle k\ge n tel que \scriptstyle \omega\in A_k . Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :

\limsup_n A_n =\bigcap_{n\ge 0}(\bigcup_{k\ge n} A_k).

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que \scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n si et seulement si \scriptstyle\ \{\omega\in A_k\}\ "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)=\mathbb{P}\left(A_n\quad\text{i.o.}\right).

La définition " \scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n si et seulement si \scriptstyle\ \omega\ appartient à une infinité de \scriptstyle\ A_k\ " peut induire en erreur : si, par exemple, toutes les parties \scriptstyle\ A_k\ sont égales, il se peut que \scriptstyle\ \omega\ appartienne à \scriptstyle\ A_k\ pour une infinité d'indices \scriptstyle\ k\ , et il se peut donc que \scriptstyle\ \omega\ appartienne à \scriptstyle\ \limsup_n\, A_n, sans pour autant qu' \scriptstyle\ \omega\ appartienne à une infinité de \scriptstyle\ A_k\ (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul \scriptstyle\ A_k ).

- Introduction - Énoncé - Limite supérieure d'ensembles
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