Norme d'opérateur - Définition

Norme duale

Dans le cas où normé par la valeur absolue si E est un espace vectoriel réel (ou normé par le module si E est un espace vectoriel complexe), pour chaque norme sur E, l'espace des formes linéaires continues sur E, appelé dual topologique, peut ainsi être muni d'une norme.

Norme d'un endomorphisme

Dans le cas où E=F, on choisit usuellement (même si ce n'est pas obligatoire) . Pour les normes usuelles, on dispose de formules pratiques : Prenons , notons un vecteur quelconque de et . On note A = (a_ij) la matrice de f dans la base canonique. On a alors :

• Si , (norme indice l'infini, ou norme infini), alors la norme de f vaut :

• Si , (norme indice 1), alors la norme de f vaut :

• Si , (norme euclidienne, associée au produit scalaire canonique), alors la norme de f est la racine carrée de celle de , où f ^* désigne l'adjoint de f. Pour tout endomorphisme symétrique g (en particulier pour ), la norme de g est égale à son rayon spectral, qui est la plus grande des valeurs absolues de ses valeurs propres. Ceci se généralise en remplaçant Rⁿ par n'importe quel espace de Hilbert.