Polynôme de Hurwitz - Définition
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Un théorème facile
Soit P(x) le polynôme, de degré n, dont on veut savoir s'il est polynôme de Hurwitz ; et soit Q(x) le polynôme de degré (élevé !) n(n-1)/2 dont les racines sont les sommes deux à deux des racines de P(x).
Pour que P(x) soit de Hurwitz , il faut que tous les coefficients de Q(x) soient positifs.
Démonstration : la condition est nécessaire ; en effet, les parties réelles des n(n-1)/2 racines de Q(x) sont négatives ; et en regroupant les racines conjuguées, le résultat apparaît.
La condition n'est pas suffisante : en effet, si P(x) = (x − 1)(x + 2)2 on a Q(x) = (x + 4)(x + 1)2.Donc tous les coefficient de Q sont positifs mais P n'est pas stable car il a un zéro positif.
En revanche on a le résultat suivant: P(x) est de Hurwitz si et seulement si P et Q ont tous deux leurs coefficients positifs.
Démonstration: la condition nécessaire est établie au-dessus. Pour la condition suffisante, il suffit de remarquer que puisque les coefficients de P sont positifs, P n'a pas de racine réelle positive. S'il avait une racine imaginaire à partie réelle ≥ 0, alors la somme de cette racine avec sa conjuguée donne une racine réelle ≥0 de Q, ce qui est impossible puisque Q est à coefficients positifs.
A l'aide de ce critère, on retrouve facilement les conditions de Routh-Hurwitz pour n = 3.
Bibliographie
- Benidir et Barrett, Stabilité des filtres et des systèmes linéaires, Dunod (1999), ISBN 2 10 004432 X :256p, plutôt mathématique, niveau maîtrise, il complète un article d'histoire des sciences :
- M. Barret, Historique depuis Cauchy jusqu'à Fujiwara des solutions au problème de la localisation des zéros d'un polynôme dans le plan complexe, Prépublication de l'Institut de recherche mathématique avancée, vol. 22, Strasbourg (1996). Niveau : professeur de mathématiques.
Intérêt pour la physique
La stabilité d'un système d'oscillateurs linéaires est liée à celle de son polynôme caractéristique, à coefficients réels positifs. Idem pour les filtres électriques linéaires.
Pour qu'un système soit stable, il faut que son polynôme caractéristique ait toutes ses racines à partie réelle négative. Cela revient à dire que ce polynôme est un polynôme de Hurwitz. Il importe donc de trouver les conditions à réaliser par les coefficients pour qu'il en soit ainsi.
Ce problème naît avec acuité dès qu'un moteur injecte une puissance au système, donc avec le développement de la machine à vapeur, et plus particulièrement du régulateur de James Watt (1736-1819). Sa solution va mobiliser l'élite des mathématiciens du XIXe siècle : Charles Sturm (1803-1855), Cauchy (1789-1857), Hurwitz (1859-1919), etc.
