Polynôme minimal trigonométrique - Définition

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- Introduction - Polynôme minimaux de nombres de la forme 2cos(kπ/n) ou 2sin(kπ/n). - Formules générales en relation avec les coefficients des polynomes minimaux trigonométriques. - Polynômes minimaux de nombres de la forme tan(kπ/n).

Introduction

Les nombres de la forme :

$\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) \qquad \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) \qquad \tan\left(\frac{k\pi}{n}\right)$

sont des nombres algébriques et à ce titre, ils admettent un polynôme minimal sur $\mathbb{Q}[X]$ . On obtient même des polynômes de degrés moindres en acceptant que les coefficients du polynôme appartiennent à un corps quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ . d étant un diviseur de n.

Dans cet article, on nommera donc $\mathbb{Q}(\sqrt{d})[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans le corps quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ .

Polynôme minimaux de nombres de la forme 2cos(kπ/n) ou 2sin(kπ/n).

Ci-dessous se trouvent, dans l'ordre des degrés croissants, les premiers polynômes minimaux des nombres de la forme 2.cos(k $π$ /n) ou de la forme 2.sin(k $π$ /n). Le facteur 2 n'est là que pour simplifier les coefficients du polynome.

Polynômes du premier degré

$x - 1 \qquad x + 1 \qquad x - 2 \qquad x + 2$

sont respectivement les polynômes minimaux des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{3}), \qquad 2\cos(\frac{2\pi}{3}), \qquad 2\cos(0), \qquad 2\cos(\pi). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{6}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{6}), \qquad 2\sin(\frac{\pi}{2}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{2}). ~$

$x - \sqrt{2} \qquad x + \sqrt{2} \qquad x - \sqrt{3} \qquad x + \sqrt{3}$

sont respectivement les polynômes minimaux dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ et $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{4}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{4}), \qquad 2\cos(\frac{\pi}{6}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{6}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{4}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{4}), \qquad 2\sin(\frac{\pi}{3}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{3}). ~$

Polynômes de second degré

$x^2 - x\sqrt{2} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{12}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{12}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{12}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{12}). ~$

$x^2 + x\sqrt{2} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{5\pi}{12}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{12}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{12}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{12}). ~$

$x^2 - x\sqrt{5} + 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{5}), \qquad 2\cos(\frac{2\pi}{5}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{10}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{10}). ~$

$x^2 + x\sqrt{5} + 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{3\pi}{5}), \qquad 2\cos(\frac{4\pi}{5}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{10}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{10}). ~$

Polynômes du troisième degré

$x^3 - x^2 - 2x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{7}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{7}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{7}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{14}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{14}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{14}). ~$

$x^3 + x^2 - 2x - 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{7}), \qquad 2\cos(\frac{4\pi}{7}), \qquad 2\cos(\frac{6\pi}{7}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{14}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{14}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{14}). ~$

$x^3 - 3x - 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{9}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{9}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{9}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{18}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{18}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{18}). ~$

$x^3 - 3x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{9}), \qquad 2\cos(\frac{4\pi}{9}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{9}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{18}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{18}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{18}). ~$

$x^3 - x^2\sqrt{7} + \sqrt{7} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{14}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{14}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{14}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{7}), \qquad 2\sin(\frac{2\pi}{7}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{7}). ~$

$x^3 + x^2\sqrt{7} - \sqrt{7} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{5\pi}{14}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{14}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{14}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{7}), \qquad 2\sin(\frac{-2\pi}{7}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{7}). ~$

$x^3 - 3x - \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{18}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{18}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{18}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{9}), \qquad 2\sin(\frac{-2\pi}{9}), \qquad 2\sin(\frac{4\pi}{9}). ~$

$x^3 - 3x + \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{5\pi}{18}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{18}), \qquad 2\cos(\frac{17\pi}{18}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{9}), \qquad 2\sin(\frac{2\pi}{9}), \qquad 2\sin(\frac{-4\pi}{9}). ~$

$2x^3 + (1 + \sqrt{13})x^2 - 2x - 3 - \sqrt{13} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{13})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{4\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{10\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{12\pi}{13}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{5\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-11\pi}{26}). ~$

$2x^3 + (1 - \sqrt{13})x^2 - 2x - 3 + \sqrt{13} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{13})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{6\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{13}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{9\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{26}). ~$

$2x^3 - (1 - \sqrt{13})x^2 - 2x + 3 - \sqrt{13} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{13})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{5\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{13}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{3\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-9\pi}{26}). ~$

$2x^3 - (1 + \sqrt{13})x^2 - 2x + 3 + \sqrt{13} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{13})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{13}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{7\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{11\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{26}). ~$

$2x^3 + (1 - \sqrt{21})x^2 - (1 + \sqrt{21})x + 5 + \sqrt{21} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{21})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{21}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{21}), \qquad 2\cos(\frac{17\pi}{21}). ~$

$2x^3 + (1 + \sqrt{21})x^2 - (1 - \sqrt{21})x + 5 - \sqrt{21} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{21})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{11\pi}{21}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{21}), \qquad 2\cos(\frac{19\pi}{21}). ~$

$2x^3 - (1 + \sqrt{21})x^2 - (1 - \sqrt{21})x - 5 + \sqrt{21} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{21})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{21}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{21}), \qquad 2\cos(\frac{10\pi}{21}). ~$

$2x^3 - (1 - \sqrt{21})x^2 - (1 + \sqrt{21})x - 5 - \sqrt{21} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{21})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{4\pi}{21}), \qquad 2\cos(\frac{16\pi}{21}), \qquad 2\cos(\frac{20\pi}{21}). ~$

Polynômes du quatrième degré

$x^4 - 4x^2 + 2 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{8}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{8}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{8}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{8}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{8}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{8}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{8}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{8}) . ~$

$x^4 - 4x^2 + 2 - \sqrt{2} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{15\pi}{16}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{16}) . ~$

$x^4 - 4x^2 + 2 + \sqrt{2} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{3\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{16}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{3\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{16}) . ~$

$x^4 - 4x^2 + 2 - \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{23\pi}{24}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{11\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{-11\pi}{24}) . ~$

$x^4 - 4x^2 + 2 + \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{5\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{17\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{19\pi}{24}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{5\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{24}) . ~$

$x^4 - 5x^2 + 5 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{10}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{10}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{10}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{10}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{5}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{5}), \qquad 2\sin(\frac{2\pi}{5}), \qquad 2\sin(\frac{-2\pi}{5}) . ~$

$x^4 - x^3\sqrt{5} - 2x^2 + 2x\sqrt{5} + 5 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{2\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{15}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{11\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{13\pi}{30}) . ~$

$x^4 + x^3\sqrt{5} - 2x^2 - 2x\sqrt{5} + 5 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{4\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{14\pi}{15}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{-11\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{-13\pi}{30}) . ~$

$2x^4 - (1 - \sqrt{17})x^3 - (3 + \sqrt{17})x^2 - 2(2 + \sqrt{17})x - 2 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{17})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{15\pi}{17}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{15\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-1\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-9\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-13\pi}{34}) . ~$

$2x^4 - (1 + \sqrt{17})x^3 - (3 - \sqrt{17})x^2 - 2(2 - \sqrt{17})x - 2 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{17})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{3\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{17}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{3\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{11\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{34}) . ~$

$2x^4 + (1 + \sqrt{17})x^3 - (3 - \sqrt{17})x^2 + 2(2 - \sqrt{17})x - 2 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{17})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{6\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{10\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{12\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{14\pi}{17}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2x^4 + (1 - \sqrt{17})x^3 - (3 + \sqrt{17})x^2 + 2(2 + \sqrt{17})x - 2 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{17})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{4\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{16\pi}{17}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{9\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{13\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-15\pi}{34}) . ~$

$x^4 - x^3\sqrt{2} - 3x^2 + 3x\sqrt{2} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{17\pi}{20}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{9\pi}{20}) . ~$

$x^4 + x^3\sqrt{2} - 3x^2 - 3x\sqrt{2} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{3\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{19\pi}{20}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{-9\pi}{20}) . ~$

$x^4 - x^3\sqrt{15} + 4x^2 - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{15})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{17\pi}{30}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{2\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{4\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{15}) . ~$

$x^4 + x^3\sqrt{15} + 4x^2 - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{15})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{13\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{19\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{23\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{29\pi}{30}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{-2\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{-4\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{15}) . ~$

Polynômes du cinquième degré

$x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{4\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{6\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{10\pi}{11}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{-9\pi}{22}). ~$

$x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x - 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{9\pi}{22}). ~$

$x^5 + x^4\sqrt{11} - 3x^2\sqrt{11} - 11x - \sqrt{11} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{11})[X]$ des nombres :

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{-2\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{4\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{11}) . ~$

$x^5 - x^4\sqrt{11} + 3x^2\sqrt{11} - 11x + \sqrt{11} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{11})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{19\pi}{22}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{2\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{-4\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{11}). ~$

$2x^5 - 10x^3 + 10x - \sqrt{5} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{19\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{21\pi}{25}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{23\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{-13\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{-17\pi}{50}). ~$

$2x^5 - 10x^3 + 10x - \sqrt{5} + 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{12\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{18\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{22\pi}{25}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{21\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{9\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{-11\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{-19\pi}{50}). ~$

$2x^5 - 10x^3 + 10x + \sqrt{5} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{3\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{17\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{23\pi}{25}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{19\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{11\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{-9\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{-21\pi}{50}). ~$

$2x^5 - 10x^3 + 10x + \sqrt{5} + 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{4\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{6\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{14\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{16\pi}{25}), \qquad 2\cos(\frac{24\pi}{25}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{17\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{13\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{50}), \qquad 2\sin(\frac{-23\pi}{50}). ~$

Etc...

Formules générales en relation avec les coefficients des polynomes minimaux trigonométriques.

Ce bio-ordinateur utilise des neurones humains: vers une IA encore plus performante ? 🖥️

Le courant antarctique ralentit: quelles conséquences ? 🌍

Des chercheurs ont enfin résolu le problème de dégradation de ces batteries Li-ion 🔋

Découverte: des séismes causés par... le Soleil 🌍

Comment ce champignon se nourrit-il de cerveaux ? 🧠

1400 différentes espèces d'insectes découvertes dans les intestins de frelons asiatiques 🐝

Cinq jours de malbouffe suffisent à modifier le cerveau 🍔

Cette algue volcanique extrême révèle les secrets de la photosynthèse 🌋

Des chercheurs parviennent à transformer des hologrammes en objet physique 💡

Des scientifiques donnent naissance à... des souris-mammouths 🦣

Ces robots changent de forme et de rigidité sur demande ⚙️

Espérance de vie: les diplômés vivent de plus en plus longtemps 🎓

Ce verre stocke des données 3D réinscriptibles à volonté 📀

Ces moteurs moléculaires artificiels expliquent le fonctionnement du vivant ⚙️

Blue Ghost: un GPS terrestre pour naviguer puis se poser sur la Lune 🌖

Découverte: des écureuils volants géants vivaient autrefois en Amérique du Nord 🐿️

Invention d'une lentille plate pour télescope: ce que ça change 🔭

Des scientifiques reprogramment le code de la vie et inventent un nouvel organisme 🧬

Ce robot développe une "conscience de soi" en s'observant dans un miroir 🤖

Nuages et réchauffement terrestre: un effet surprenant 🌤️

Une tempête solaire a engendré d'impressionnantes ceintures de radiation autour de la Terre 🌍

Découverte d'un nouveau type de cellule cérébrale jusqu'alors jamais observée 🧠

Comment l'hélium pourrait rendre les missiles indétectables et ininterceptables ? 🚀

Découverte: le yaourt réduit le risque de cancer 🥄

L'explosion d'une étoile a-t-elle influencé l'évolution des virus ? 💥

21 jours pour adopter une nouvelle habitude, mythe ou réalité ? 🕒

Comment la "Terre boule de neige" a contribué à l'évolution de la vie 🔍

Une île naît des profondeurs: le volcan sous-marin des Tonga en action 🌋

Vestige cosmique: le cœur de la Terre cacherait d'immenses réserves d'hélium 🌋

Ces bulles d'air se déplacent... horizontalement !? 🔍

Comment ce cerveau a-t-il pu se transformer en verre ? 🧠

Pourquoi avons-nous toujours envie de dessert après un repas copieux ? 🍰

Pourquoi Mars est rouge ? Cette réponse renforce l'idée de vie martienne 🟠

L'Antarctique révèle des fonds marins encore jamais explorés 🌍

L'origine de "la molécule qui a fait l'Univers" 🌟

Pourquoi certains obèses restent en bonne santé ? 🍔

Découverte: il y a 150 000 ans, les humains colonisaient déjà les forêts tropicales 🌳

L'hyperactivité neuronale, clé du vieillissement cérébral ? 🧠

Ces superprédateurs préhistoriques n'auraient fait qu'une bouchée des orques d'aujourd'hui 🍖

Les plantes pourraient bientôt émettre plus de CO2 qu'elles n'en absorbent 🌱

Un système planétaire flashé à une vitesse record 🌠

Comment les lésions cérébrales peuvent-elles booster la créativité ? 🧠

L'analyse de ces fossiles donne un nouvel espoir à l'identification de vie sur Mars 👽

Aspartame: un poison pour votre cœur 🍬

Découvrez une planète aux tempêtes de fer et de titane en fusion 🔥

Le rajeunissement cellulaire enfin possible grâce à cette protéine 🧬

Ces souris pratiquent les gestes de premiers secours entre elles, voici comment 🐭

Notre confiance en soi, une faiblesse pour la désinformation 🤔

Découverte d'une technologie de transport datant de 22 000 ans 🧐

Ces contraceptifs doubleraient le risque d'AVC et de crise cardiaque 🚨

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