Polynôme minimal
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Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme expliqué dans l'article intérêt du concept de polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent...) d'endomorphisme.

Il est défini comme le polynôme normalisé (son coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction...) de plus haut degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) est égal à 1) de plus petit degré qui annule un endomorphisme c'est-à-dire une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte...) d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au...) dans lui-même.

Il est utilisé essentiellement en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) finie ; il joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à mastiquer.) un rôle important dans la réduction d'endomorphisme. Il dispose de propriétés fortes dont la plus célèbre est probablement le théorème de Cayley-Hamilton (En algèbre linéaire, le théorème Cayley-Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que tout endomorphisme...).

Les démonstrations associées au polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible...) se trouvent essentiellement dans l'article Polynôme d'endomorphisme qui approfondit ce concept dans un cadre théorique plus large.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

On suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie et égale à n. Soit u un endomorphisme de E. Nous avons la définition suivante:

  • Le polynôme minimal de l'endomorphisme u est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule u.

Intérêt du concept

Le polynôme minimal est l'outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus grande rentabilisation de ces...) théorique central pour la réduction d'endomorphisme dans le cas de la dimension finie. Une réduction est une approche fréquente en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...), consistant à réduire un concept en des sous-concepts plus simples et qui décrivent parfaitement le concept initial. Dans le cas des endomorphismes, il en existe deux ayant un rôle particulier, les endomorphismes nilpotents et les endomorphismes diagonalisables ; les polynômes minimaux apparaissent donc pour l'analyse théorique de ces applications linéaires.

La raison du rôle central de cet outil réside dans le fait que la notion de polynôme d'endomorphisme est le cadre théorique pour la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en...) des théorèmes permettant la réduction. Le polynôme minimal y joue un rôle clé. Les démonstrations associées à cet article se trouvent naturellement traitées dans l'article associé.

Par delà son rôle théorique, le polynôme minimal propose une approche appliquée très opérationnelle. Il joue donc un rôle dans l'analyse des matrices en général et plus particulièrement dans le cas de la Réduction de matrice, des Matrices diagonales ou nilpotentes.

Sa dimension appliquée sort des frontières de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs,...) pour offrir un outil opérationnel de résolution d'équations différentielles linéaires où il est utilisé dans de cas physiques comme les systèmes oscillants.

Approche par l'exemple

Considérons le cas où n est égal à 2, où l'espace vectoriel est réel, ce qui signifie que les multiplications scalaires des vecteurs ont lieu sur les réels. Soit un endomorphisme u ayant pour la représentation matricielle suivante dans une base (e1, e2):

u:\;\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

Calculons alors la représentation matricielle du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à...) de u, on trouve:

u^2:\;\begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 10 & 14 \end{pmatrix}

Existence du polynôme minimal

On peut alors remarquer qu'il existe une relation de dépendance linéaire entre u2, u et Id l'endomorphisme identité. En effet:

\begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 10 & 14 \end{pmatrix}-5\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}+6\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Ce qui nous montre l'existence du polynôme minimal que nous notons \chi\;

\chi[X]=X^2-5X+6=(X-2)(X-3)\;

Dans cet exemple, nous avons démontré l'existence du polynôme minimal et nous avons démontré que son degré est égal à la dimension de l'espace vectoriel. Cette propriété est générale en dimension finie, le polynôme minimal existe toujours et son degré est inférieur ou égal à la dimension de l'espace.

Valeurs propres et racines

Un vecteur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes...) est un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) non nul dont l'image par l'endomorphisme est proportionnelle à lui-même. Une des propriétés du polynôme minimal réside dans le fait que ses racines sont les valeurs propres. Recherchons alors des vecteurs propres en utilisant cette propriété. Pour la valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes...) 2, on trouve:

\left\{\begin{matrix} x-y=2x \\ 2x+4y=2y  \end{matrix}\right.  \quad \mbox{et le vecteur suivant est propre:   } u_1=e_1-e_2

On peut vérifier de même que u_2=e_1-2e_2\; est un vecteur propre associé à la valeur propre 3. Cette approche permet de calculer les valeurs et vecteurs propres sans calcul de déterminant. Plus la dimension augmente, plus ce mode de calcul devient efficace.

Polynôme minimal et diagonalisation (La diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire. Il s'applique à des endomorphismes d'un espace vectoriel. Il consiste à rechercher une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres.)

Nous disposons de deux vecteurs propres u1 et u2 qui forment une famille libre dans un espace de dimension 2, ils constituent donc une base. Nous pouvons alors remarquer que dans cette base, l'endomorphisme s'exprime sous la forme:

u:\; \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \;

Une telle matrice possède des termes tous nuls en dehors de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.). Cet exemple illustre une propriété importante du polynôme minimal. L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si le polynôme possède toutes ses racines et qu'aucune de ses racines ne soit multiple.

Polynôme minimal et polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme...)

Le polynôme caractéristique correspond au déterminant de l'application u - \lambda Id \;. Il possède une propriété particulière. À l'instar du polynôme minimal, ses racines sont aussi les valeurs propres. Calculons alors le polynôme caractéristique P de notre endomorphisme:

P[X]=\begin{vmatrix} 1-X & -1 \\ 2 & 4-X \end{vmatrix}=(1-X)(4-X)+2=X^2-5X+6

Le polynôme caractéristique est égal dans ce cas au polynôme minimal. Il existe toujours une relation entre les deux, même si l'égalité n'est pas systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour objet de dénombrer et de classer les taxons dans un certain ordre, basé sur...). Dans le cas général, le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.

Propriétés

  • En dimension finie, le polynôme minimal existe toujours et il est de degré inférieur ou égal à la dimension de l'espace.
  • Les polynômes qui annulent l'endomorphisme et que l'on appelle polynômes annulateurs de u forment un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers....) principal dans l'anneau des polynômes.

La notion de polynôme minimal d'un endomorphisme peut être restreinte à un vecteur. Le polynôme minimal d'un vecteur x est le polynôme normalisé de plus petit degré qui, appliqué à u, annule x.

  • Si x est un vecteur, alors le polynôme minimal de x divise le polynôme minimal. Il existe au moins un vecteur tel que les deux polynômes soient égaux.
  • Les racines du polynôme minimal forment l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des valeurs propres.
  • Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé (c'est-à-dire qu'il possède toutes ses racines) sans racine multiple.
  • Le Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de Cayley-Hamilton nous indique que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.

Toutes ces propriétés sont démontrées dans l'article Polynôme d'endomorphisme qui développe la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) associée à ce concept et présente d'autres propositions plus avancées.

Théorie de Galois

En théorie de Galois, étant donnés une extension de corps \mathbb{L}/\mathbb{K} et un élément α de \mathbb{L} qui est algébrique sur \mathbb{K}, le polynôme minimal de α est le polynôme normalisé p, à coefficients dans \mathbb{K}, de degré minimum tel que p(α)=0. Le polynôme minimal est irréductible, et tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) autre polynôme non nul q tel que q(α)=0, est multiple de p.

C'est en fait le polynôme minimal de l'endomorphisme de \mathbb{L} défini par u(x) = αx\mathbb{L} est considéré comme un \mathbb{K}-espace vectoriel.

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