Symboles de Hermann-Mauguin - Définition

Introduction

Les symboles de Hermann-Mauguin (ou notation internationale), des noms de Carl Hermann et de Charles Victor Mauguin, donnent les éléments des opérations de symétrie d'un groupe ponctuel ou d'un groupe d'espace le long de chaque direction de symétrie d'un système réticulaire. Le long d'une direction de symétrie on trouve toujours des opérations de symétrie dans un groupe holohèdre, mais pas toujours dans un groupe mérièdre. Les directions de symétrie sont caractéristiques de chaque système réticulaire.

Directions de symétrie

Les symboles de Hermann-Mauguin sont des symboles orientés : l’orientation de chaque élément de symétrie peut se lire à partir du symbole, en sachant que dans chaque système réticulaire les directions de symétrie sont données dans un ordre conventionnel.

Une direction de symétrie de l’espace tridimensionnel est indiquée par [u v w], où les trois indices u, v, w sont les coordonnées du premier nœud du réseau le long de la direction donnée. Les indices u, v, w sont toujours débarrassés des facteurs communs. La direction [u v w] passe toujours par l’origine de l’espace, qui est le point de coordonnées (0 0 0). Par exemple, la direction qui passe par l’origine (0 0 0) et par les nœuds (1 3 4), (2 6 8), (3 9 12), (4 12 16), etc., est indiquée par [1 3 4]. Les axes a, b et c sont indiqués par [1 0 0], [0 1 0] et [0 0 1] respectivement, car (1 0 0), (0 1 0) et (0 0 1) sont les premiers nœuds le long de ces axes.

Système réticulaire	première direction de symétrie	deuxième direction de symétrie	troisième direction de symétrie
triclinique	---	---	---
monoclinique	[0 1 0]	---	---
orthorhombique	[1 0 0]	[0 1 0]	[0 0 1]
tétragonal	[0 0 1]	[1 0 0], [0 1 0]	[1 1 0], [1 1 0]
rhomboédrique (axes rhomboédriques)	[1 1 1]	[1 1 0], [0 1 1], [1 0 1]	---
rhomboédrique (axes hexagonaux)	[0 0 1]	[1 0 0], [0 1 0], [1 1 0]	---
hexagonal	[0 0 1]	[1 0 0], [0 1 0], [1 1 0]	[2 1 0], [1 2 0], [1 1 0]
cubique	[0 0 1], [1 0 0], [0 1 0]	[1 1 1], [1 1 1], [1 1 1], [1 1 1]	[1 1 0], [1 1 0], [1 0 1], [1 0 1], [0 1 1], [0 1 1]

Il n’y a aucune direction de symétrie dans le système réticulaire triclinique : les cristaux qui appartiennent à ce système réticulaire ne peuvent posséder que le centre d’inversion comme seul élément de symétrie, qui ne définit pas une direction.

Dans le système réticulaire monoclinique, il n’y a qu’une seule direction de symétrie ; celle-ci est normalement prise comme axe b du cristal.

À partir du système réticulaire tétragonal, deux ou plusieurs directions apparaissent dans la même case : ces directions sont elles-mêmes équivalentes par symétrie. Par exemple dans le système réticulaire tétragonal, les directions [1 0 0] et [0 1 0] sont reliées par la rotation quaternaire autour de la direction [0 0 1] : elles font partie de la famille de directions équivalentes {1 0 0}.

Dans le système réticulaire rhomboédrique, la troisième direction de symétrie n’existe pas. En fait, la présence des nœuds le long de la diagonale de la maille conventionnelle supprime la symétrie réticulaire le long des directions [2 1 0], [1 2 0] et [1 1 0], qui existe en revanche dans le système réticulaire hexagonal.

Symboles de Hermann-Mauguin pour les groupes d'espace

Par rapport à la notation des groupes ponctuels, celle des groupes d'espace présente deux différences principales :

• le symbole contient, en première position, le mode de réseau (P, A, B, C, I, F, R ) ;
• le symbole peut contenir des axes hélicoïdaux ou des miroirs translatoires.

Pour obtenir le groupe ponctuel isomorphique d'un groupe d'espace, il suffit donc d'en ôter les éléments de symétrie translatoires. Par exemple, 4/mmm est le groupe ponctuel isomorphique du groupe d'espace I4₁/acd.

Dans le symbole d'un groupe d'espace, différents éléments de symétrie de même dimensionalité peuvent co-exister en orientation parallèle. Dans le symbole du groupe d'espace, le choix de l'élément représentatif suit une priorité, qui est la suivante :

• les axes sans glissement ont priorité sur les axes hélicoïdaux ;
• la priorité dans le choix du miroir représentatif est : m > e > a > b > c > n > d.