Point (géométrie) - Définition et Explications

En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.

En géométrie euclidienne élémentaire

Le point, selon Euclide, est ce qui n'a aucune partie. On peut aussi dire plus simplement qu'un point (Graphie) ne désigne pas un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) mais un emplacement. Il n'a donc aucune dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...), longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...), largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit...), épaisseur, volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) ou aire. Sa seule caractéristique est sa position. On dit parfois qu'il est " infiniment petit ". Toutes les figures du plan et de l'espace sont constituées d'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de points.

Le point étant considéré comme l'unique élément commun à deux droites sécantes, on représente habituellement le point par une croix (intersection de deux petits segments) plutôt que par un point (signe).

Lorsque le plan ou l'espace est muni d'un repère cartésien, on peut positionner tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) point par rapport aux axes de ce repère par ses coordonnées cartésiennes ; le point est alors associé à un couple de réels en dimension 2 ou un triplet de réels en dimension 3. Il existe cependant d'autres manières de repérer les points (coordonnées polaires en dimension deux, coordonnées sphériques ou coordonnées cylindriques en dimension 3)

En géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement...)

Dans un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de...) E associé à l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) V, les éléments de E sont appelés les points et les éléments de V sont appelés les vecteurs. À chaque couple de points (A,B), on associe un vecteur : \phi(A,B) = \vec u vérifiant les propriétés suivantes

  • La relation de Chasles : φ(A,B) + φ(B,C) = φ(A,C)
  • Si A est fixé, il y a correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...) bijective entre les points de l'espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) E et les vecteurs de l'espace vectoriel V, c'est l'application qui, au point B, associe le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...)φ(A,B).

En géométrie projective (En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie...)

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) projective, les points de l'espace projectif E associé à l'espace vectoriel V sont les droites vectorielles de V. Lorsque l'espace vectoriel V est de dimension n, et qu'il lui est associé un espace affine A, il est fréquent d'associer à l'espace E deux ensembles de points : l'ensemble des points d'un sous-espace affine A' de dimension n-1 d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) x = 1 (par exemple) et l'ensemble des droites vectorielles du sous-espace vectoriel (En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un...) V' associé à A' L'espace projectif E est alors assimilé à un espace affine A' auquel on ajoute les droites vectorielles de V' . On distingue alors, dans E, les points de type affine (ceux dans A') et les autres appelés points à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...).

En particulier, si \mathbb K est un corps, l'espace projectif associé à \mathbb K^2 est assimilable au corps \mathbb K auquel s'ajoute un point à l'infini \infty\,.

Histoire

La notion de point, en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), a aujourd'hui un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) très large. Historiquement, les points étaient les " constituants " fondamentaux, les " atomes ", dont étaient faits les droites, les plans et l'espace, tels que les concevaient les géomètres grecs de l'Antiquité. on disait ainsi qu'une droite, un plan ou l'espace tout entier étaient des ensembles de points.

Depuis la création de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le...) par Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg –...) à la fin du XIXe siècle et l'explosion (Une explosion est la transformation rapide d'une matière en une autre matière ayant un...) des " structures mathématiques " qui s'en est suivie, on utilise le terme de " point " pour désigner un élément quelconque d'un ensemble que l'on décide arbitrairement d'appeler " espace " : c'est ainsi que l'on parlera d'un point de la droite des nombres réels ( alors que les Grecs faisaient évidemment la distinction entre un " point " et un " nombre " ), d'un point d'un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre...), d'un espace topologique (La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire...), d'un espace projectif, etc.

Bref, il suffit qu'un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) qualifie " d'espace " tel ou tel ensemble, au sens le plus général de ce terme et muni de propriétés particulières régies par des axiomes, pour que ses éléments soient aussitôt qualifiés de " points ".

Ainsi, aujourd'hui, le terme " d'espace " étant presque devenu synonyme " d'ensemble ", le terme " point " est donc presque devenu synonyme " d'élément ". Ces termes " d'espace " et de " points " sont juste utilisés pour leur pouvoir suggestif, même si ces termes en question n'ont plus rien à voir avec la géométrie.

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